Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir: y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função varia conforme muda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos indica a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
Então, derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a derivada:
Posso fatorar o 12x:
E fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo :

Passo 5

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: , , e . Em cada intervalo, vamos escolher um valor de teste e ver o sinal da derivada para saber se a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está decrescendo nos intervalos e , e crescendo nos intervalos e .

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