Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função varia conforme
muda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos indica a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
Então, derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a derivada:
Posso fatorar o 12x:
E fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Passo 5
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
,
,
e
. Em cada intervalo, vamos escolher um valor de teste e ver o sinal da derivada para saber se a função está crescendo ou decrescendo.
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está decrescendo nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está crescendo nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está decrescendo nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está crescendo nesse intervalo. - Escolha
Resposta
A função
está decrescendo nos intervalos
e
, e crescendo nos intervalos
e
.