(I) Determine a expansão por frações parciais da seguinte função: (i) H1(s)=(s^2+5 s+6) /(s^3+s^2+s+1), cujos pólos do denominador estão em s= pm j e s=-1

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a expansão por frações parciais da função . Isso envolve decompor essa fração em termos mais simples usando os pólos fornecidos, que são e . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que facilita a integração e outras manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função. Sabemos que os pólos são s^3 + s^2 + s + 1 = (s + 1)(s - j)(s + j) e , então o denominador pode ser escrito como:
Isso facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, vamos expressar H1(s) = s^2 + 5s + 6(s + 1)(s - j)(s + j) = As + 1 + Bs - j + Cs + j como uma soma de frações parciais utilizando os fatores encontrados:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum s^2 + 5s + 6 = A(s - j)(s + j) + B(s + 1)(s + j) + C(s + 1)(s - j) para eliminar as frações:

Passo 5

Simplificamos os termos:
(s - j)(s + j) = s^2 + 1
Então, a equação fica:
s^2 + 5s + 6 = A(s^2 + 1) + B(s + 1)(s + j) + C(s + 1)(s - j)

Passo 6

Para encontrar (-1)^2 + 5(-1) + 6 = A((-1)^2 + 1) + B(0) + C(0) 1 - 5 + 6 = 2A 2 = 2A implies A = 1 , substituímos na equação:

Passo 7

Para encontrar j^2 + 5j + 6 = A(j^2 + 1) + B(j + 1)(2j) + C(0) -1 + 5j + 6 = 0 + 2jB(1 + j) 5j + 5 = 2jB(1 + j) , substituímos B = 5j + 52j(1 + j) = 5(j + 1)2j(1 + j) = 52j = 52j cdot -j-j = -5j-2 = 5j2 :
Resolvendo para :

Passo 8

Para encontrar (-j)^2 + 5(-j) + 6 = A((-j)^2 + 1) + B(0) + C(1 - j)(-2j) -1 - 5j + 6 = -2jC(1 - j) 5 - 5j = -2jC(1 - j) , substituímos C = 5 - 5j-2j(1 - j) = -5(1 - j)2j(1 - j) = -52j = -52j cdot jj = -5j-2 = 5j2 :
Resolvendo para :

Passo 9

Com os valores de H1(s) = 1s + 1 + 5j2s - j + 5j2s + j , e encontrados, podemos escrever a expansão por frações parciais:

Resposta

A expansão por frações parciais de H1(s) = 1s + 1 + 5j2s - j + 5j2s + j é:

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