(I) Determine a expansão por frações parciais da seguinte função: (i) , cujos pólos do denominador estão em j e

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a expansão por frações parciais da função . Isso envolve decompor essa fração em termos mais simples usando os pólos fornecidos, que são e . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que facilita a integração e outras manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função. Sabemos que os pólos são e , então o denominador pode ser escrito como:
Isso facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, vamos expressar como uma soma de frações parciais utilizando os fatores encontrados:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Simplificamos os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para encontrar , substituímos na equação:

Passo 7

Para encontrar , substituímos :
Resolvendo para :

Passo 8

Para encontrar , substituímos :
Resolvendo para :

Passo 9

Com os valores de , e encontrados, podemos escrever a expansão por frações parciais:

Resposta

A expansão por frações parciais de é:

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