(I) Determine a expansão por frações parciais da seguinte função: (i)
, cujos pólos do denominador estão em
j e
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a expansão por frações parciais da função
. Isso envolve decompor essa fração em termos mais simples usando os pólos fornecidos, que são
e
. Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que facilita a integração e outras manipulações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função. Sabemos que os pólos são
e
, então o denominador pode ser escrito como:
Isso facilita a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Agora, vamos expressar
como uma soma de frações parciais utilizando os fatores encontrados:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para encontrar
, substituímos
na equação:
Passo 7
Para encontrar
, substituímos
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Para encontrar
, substituímos
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever a expansão por frações parciais:
Resposta
A expansão por frações parciais de
é:
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