EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS
integral0^2(3 x^2-4 x+1) d x

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. O exercício quer que calculemos a integral definida de 0 a 2 da função . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de antiderivada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para cada termo da função, usamos a regra de integração básica:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra a cada termo da função:
  • Para integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3 :
    integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
  • Para integral 1 , dx = x :
    F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C
  • Para :
Então, a antiderivada da função é:

Passo 4

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 2, a constante integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) não é necessária. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde é a antiderivada de .

Passo 5

Vamos avaliar F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2 nos limites de integração:
  • Em F(0) = (0)^3 - 2(0)^2 + 0 = 0 - 0 + 0 = 0 :
  • Em :

Passo 6

Subtraindo F(2) - F(0) = 2 - 0 = 2 de :

Resposta

O valor da integral definida é 2.

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