Determine se a expectativa da joaninha é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar, partindo de
, segundo a direção e o sentido do vetor
, nos casos em que:
(i)
.
(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a joaninha vai se aquecer ou se resfriar quando ela se mover a partir do ponto
na direção dos vetores dados. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, e vamos precisar entender como a direção do vetor influencia na variação de temperatura que a joaninha vai experimentar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso (i) com o vetor
. Para entender se a joaninha vai se aquecer ou se resfriar, precisamos ver como esse vetor se relaciona com a posição inicial
. A direção do vetor indica para onde a joaninha está se movendo.
Passo 3
Vamos calcular o novo ponto para onde a joaninha se move ao aplicar o vetor
a
. Isso é feito somando as componentes do vetor às coordenadas de
:
Agora, a joaninha está no ponto
.
Passo 4
Para determinar se ela se aquecerá ou se resfriará, precisamos considerar a variação de temperatura entre os pontos
e
. Supondo que a temperatura aumenta na direção positiva do eixo y, vemos que y aumentou de 4 para 6. Portanto, a joaninha está se movendo para uma região mais quente.
Passo 5
No caso (i), como a joaninha está se movendo para cima no eixo y, onde a temperatura está aumentando, ela tende a se aquecer.
Passo 6
Agora, vamos para o caso (ii) com o vetor
. Aplicamos o mesmo processo:
A joaninha agora está no ponto
.
Passo 7
Considerando novamente que a temperatura aumenta na direção positiva do eixo y, a joaninha movendo-se para y = 5 (aumentando de y = 4) está indo para uma região mais quente. Contudo, como ela também está se movendo para x = -2, é importante verificar se a direção x tem algum impacto na temperatura. Se assumirmos que apenas o eixo y influencia a temperatura, então o movimento para y = 5 ainda indica aquecimento.
Passo 8
Portanto, no caso (ii), a joaninha também tende a se aquecer, já que está se movendo para uma região com valor de y maior, onde a temperatura está aumentando.
Resposta
(i) A joaninha tende a se aquecer.
(ii) A joaninha tende a se aquecer.
(ii) A joaninha tende a se aquecer.
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(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
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Obtenha uma equação para o plano tangente à superfície
no ponto
.
Determine a derivada das funções dadas:
.