(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r(t) = <t, t, (1/2) t^2>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a curvatura da curva definida por usando a Fórmula 9. A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção em um ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetor, o produto vetorial e as magnitudes dos vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de r(t) em relação a t, que representa a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de r(t) em relação a t, que representa a aceleração da curva.

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura kappa(t):
Primeiro, calculamos o produto vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
  1. Magnitude do produto vetorial:
  1. Magnitude da primeira derivada elevada ao cubo:

Resposta

Substituindo tudo na Fórmula 9, a curvatura da curva é:

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