(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a curvatura da curva definida por
usando a Fórmula 9. A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção em um ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetor, o produto vetorial e as magnitudes dos vetores envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que representa a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que representa a aceleração da curva.
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura
:
Primeiro, calculamos o produto vetorial
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
- Magnitude do produto vetorial:
- Magnitude da primeira derivada elevada ao cubo:
Resposta
Substituindo tudo na Fórmula 9, a curvatura da curva é: