(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a curvatura da curva definida por usando a Fórmula 9. A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção em um ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetor, o produto vetorial e as magnitudes dos vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que representa a aceleração da curva.

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos usar a Fórmula 9 para encontrar a curvatura :
Primeiro, calculamos o produto vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
  1. Magnitude do produto vetorial:
  1. Magnitude da primeira derivada elevada ao cubo:

Resposta

Substituindo tudo na Fórmula 9, a curvatura da curva é:

Exercícios relacionados

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Determine se a expectativa da joaninha é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar, partindo de , segundo a direção e o sentido do vetor , nos casos em que:
(i) .
(ii) .
Obtenha uma equação para o plano tangente à superfície no ponto .