(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r(t) = <t, t^2, 4>

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente quer encontrar a curvatura da curva definida por . Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço, especificamente como elas se curvam. Para isso, vamos precisar usar a Fórmula da Curvatura, que normalmente envolve as derivadas da posição da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira da função posição . Isso significa derivar cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda da função posição:

Passo 4

A Fórmula da Curvatura ( ) para uma curva no espaço é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial e é a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a norma desse vetor é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:

Passo 7

Finalmente, aplicando na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é:

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