Obtenha uma equação para o plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto específico . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e como elas nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente nesse caso seria uma superfície plana que “toca” a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar a montanha ali. Matemáticamente, a equação do plano tangente à superfície no ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função está mudando nas direções de e naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso ponto dado . Aqui, , e . Substituindo esses valores na equação do plano tangente, temos:
Simplificando um pouco:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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Determine se a expectativa da joaninha é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar, partindo de , segundo a direção e o sentido do vetor , nos casos em que:
(i) .
(ii) .
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Determine a derivada das funções dadas: .
Determine a derivada das funções dadas: .