Obtenha uma equação para o plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto específico
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e como elas nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente nesse caso seria uma superfície plana que “toca” a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar a montanha ali. Matemáticamente, a equação do plano tangente à superfície
no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função
está mudando nas direções de
e
naquele ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso ponto dado
. Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores na equação do plano tangente, temos:
Simplificando um pouco:
Resposta
A equação do plano tangente é:
Exercícios relacionados
Determine se a expectativa da joaninha é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar, partindo de
, segundo a direção e o sentido do vetor
, nos casos em que:
(i) .
(ii) .
(i)
(ii)
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Determine a derivada das funções dadas:
.
Determine a derivada das funções dadas:
.