Determine a expressão algébrica da transformação linear T: R^2 R^2 que leva os vetores da base B=(1,1),(-1,1) nos seguintes vetores de R^2 :
T(1,1)=(1,-1), e T(-1,1)=(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Transformação Linear, que é um assunto de Álgebra Linear. A questão pede para encontrar a expressão algébrica de uma transformação linear que transforma certos vetores de uma base específica em outros vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma transformação linear e como ela se relaciona com bases de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá a imagem desse vetor após a transformação. No nosso caso, queremos encontrar a matriz que representa .

Passo 3

Vamos representar a transformação A = a & b c & d por uma matriz 2x2:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem as condições dadas no enunciado.

Passo 4

A transformação T(1,1) = (1,-1) e T(-1,1) = (0,1) deve transformar os vetores da base A 1 1 = 1 -1 e A -1 1 = 0 1 nos vetores fornecidos. Ou seja:
Isso se traduz em:

Passo 5

Vamos multiplicar a matriz a(1) + b(1) = 1 c(1) + d(1) = -1 a(-1) + b(1) = 0 c(-1) + d(1) = 1 pelos vetores para obter um sistema de equações:
a + b = 1 c + d = -1 - a + b = 0 - c + d = 1
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeira equação:
a + b = 1 (1)
Terceira equação:
- a + b = 0 (3)
Podemos resolver a equação (3) para encontrar - a + b = 0 implies b = a em termos de a + a = 1 implies 2a = 1 implies a = 12 :
b = 12
Substituindo na equação (1):
Então,

Passo 7

Agora, vamos resolver para c + d = -1 (2) e - c + d = 1 (4) .
Segunda equação:
(c + d) + (-c + d) = -1 + 1 implies 2d = 0 implies d = 0
Quarta equação:
c + 0 = -1 implies c = -1
Somando as equações (2) e (4):
Substituindo na equação (2):

Passo 8

Agora que encontramos todos os valores, a matriz A = 12 & 12 -1 & 0 fica:

Resposta

A expressão algébrica da transformação linear T(x, y) = ( 12x + 12y, -x ) é:

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