Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base nos seguintes vetores de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Transformação Linear, que é um assunto de Álgebra Linear. A questão pede para encontrar a expressão algébrica de uma transformação linear que transforma certos vetores de uma base específica em outros vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma transformação linear e como ela se relaciona com bases de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá a imagem desse vetor após a transformação. No nosso caso, queremos encontrar a matriz que representa .
Passo 3
Vamos representar a transformação por uma matriz 2x2:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem as condições dadas no enunciado.
Passo 4
A transformação deve transformar os vetores da base nos vetores fornecidos. Ou seja:
Isso se traduz em:
Passo 5
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores para obter um sistema de equações:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeira equação:
Terceira equação:
Podemos resolver a equação (3) para encontrar em termos de :
Substituindo na equação (1):
Então,
Passo 7
Agora, vamos resolver para e .
Segunda equação:
Quarta equação:
Somando as equações (2) e (4):
Substituindo na equação (2):
Passo 8
Agora que encontramos todos os valores, a matriz fica: