(a) Determine o produto escalar dos vetores e , sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o produto escalar dos vetores e . A gente sabe que a norma de é e a norma de é . O produto escalar é um conceito importante em álgebra vetorial que nos ajuda a entender como dois vetores se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Onde é o ângulo entre os vetores. Mas nesse caso, vamos usar uma propriedade do produto escalar que facilita a nossa vida: a distributiva.

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar usando a distributiva:

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como , é igual ao quadrado da norma desse vetor. Ou seja:
E similarmente:
Além disso, sabemos que o produto escalar é comutativo, então .

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão expandida:
Observamos que se cancelam.

Passo 6

Simplificando a expressão restante:

Resposta

O produto escalar dos vetores e é igual a .

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Determine sabendo que este vetor tem norma , é ortogonal a e a , e forma ângulo agudo com .
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