(a) Determine o produto escalar dos vetores u+v e u-v, sabendo que |u|=raiz7 e |v|=raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o produto escalar dos vetores u+v e u-v. A gente sabe que a norma de u é raiz7 e a norma de v é raiz2. O produto escalar é um conceito importante em álgebra vetorial que nos ajuda a entender como dois vetores se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores a e b, o produto escalar é dado por:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Mas nesse caso, vamos usar uma propriedade do produto escalar que facilita a nossa vida: a distributiva.

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar (u + v) cdot (u - v) usando a distributiva:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como u cdot u, é igual ao quadrado da norma desse vetor. Ou seja:
u cdot u = |u|^2 = (raiz7)^2 = 7
E similarmente:
v cdot v = |v|^2 = (raiz2)^2 = 2
Além disso, sabemos que o produto escalar é comutativo, então u cdot v = v cdot u.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão expandida:
(u + v) cdot (u - v) = 7 - u cdot v + u cdot v - 2
Observamos que -u cdot v + u cdot v se cancelam.

Passo 6

Simplificando a expressão restante:
7 - 2 = 5

Resposta

O produto escalar dos vetores u+v e u-v é igual a 5.

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