(a) Determine o produto escalar dos vetores
e
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o produto escalar dos vetores
e
. A gente sabe que a norma de
é
e a norma de
é
. O produto escalar é um conceito importante em álgebra vetorial que nos ajuda a entender como dois vetores se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Mas nesse caso, vamos usar uma propriedade do produto escalar que facilita a nossa vida: a distributiva.
Passo 3
Vamos expandir o produto escalar
usando a distributiva:
Passo 4
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como
, é igual ao quadrado da norma desse vetor. Ou seja:
E similarmente:
Além disso, sabemos que o produto escalar é comutativo, então
.
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão expandida:
Observamos que
se cancelam.
Passo 6
Simplificando a expressão restante:
Resposta
O produto escalar dos vetores
e
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a expressão algébrica da transformação linear
que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de
:
Determine
sabendo que este vetor tem norma
, é ortogonal a
e a
, e forma ângulo agudo com
.
Questão
ex
vetores linearmente independentes em
e seja
e
. São
e
linearmente independentes? Verifique sua resposta.
Determine a expressão algébrica da transformação linear
que leva os vetores da base
nos seguintes vetores de
: