Questão ex vetores linearmente independentes em e seja e . São e linearmente independentes? Verifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores que são linearmente independentes em . Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. A questão quer saber se os vetores , e também são linearmente independentes. Vamos precisar entender o que é independência linear e como testar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação é . Se existir outra solução, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores . Queremos ver se os únicos valores de que satisfazem são .
Vamos substituir os 's pelas suas expressões em termos de :

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Como são linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é cada coeficiente ser zero. Então, temos o sistema:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação:
Isso significa que temos somente uma solução trivial .

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes.

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