Questão ex vetores linearmente independentes em e seja e . São e linearmente independentes? Verifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores que são linearmente independentes em . Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. A questão quer saber se os vetores , e também são linearmente independentes. Vamos precisar entender o que é independência linear e como testar isso usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação é . Se existir outra solução, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores . Queremos ver se os únicos valores de que satisfazem são .
Vamos substituir os 's pelas suas expressões em termos de :
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Como são linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é cada coeficiente ser zero. Então, temos o sistema:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: ⇒ .
Da terceira equação: ⇒ .
Substituindo e na primeira equação:
Isso significa que temos somente uma solução trivial .