Questão 10 Sejam x1, x2 ex x3 vetores linearmente independentes em R^n e seja y1=x2-x1, y2=x3-x2 e y3=x3-x1. São y1, y2 e y3 linearmente independentes? Verifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores que são linearmente independentes em . Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. A questão quer saber se os vetores , e também são linearmente independentes. Vamos precisar entender o que é independência linear e como testar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação é . Se existir outra solução, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores a (x2 - x1) + b (x3 - x2) + c (x3 - x1) = 0 . Queremos ver se os únicos valores de que satisfazem são .
Vamos substituir os 's pelas suas expressões em termos de :

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
a x2 - a x1 + b x3 - b x2 + c x3 - c x1 = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(-a - c) x1 + (a - b) x2 + (b + c) x3 = 0

Passo 5

Como -a - c = 0 a - b = 0 b + c = 0 são linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é cada coeficiente ser zero. Então, temos o sistema:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: -b - (-b) = 0 Rightarrow -b + b = 0 Rightarrow 0 = 0 .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação:
Isso significa que temos somente uma solução trivial .

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes.

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