Determine uma expressão para
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma expressão para o ângulo
em termos de
,
e
. Isso está relacionado com a geometria de polígonos regulares. Para resolver, vamos precisar entender como o número de lados (
), o raio (
) e o comprimento do lado (
) se relacionam em um polígono regular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um polígono regular, todos os lados e ângulos são iguais. O raio
é a distância do centro do polígono até qualquer um dos seus vértices. O comprimento do lado
pode ser relacionado ao raio através do ângulo central
.
Passo 3
O ângulo central
é o ângulo formado no centro do polígono por dois raios que vão a dois vértices consecutivos. Sabemos que a soma de todos os ângulos centrais de um polígono regular é
. Portanto, cada ângulo central
é dado por:
Passo 4
Agora, para relacionar
com o raio
e o comprimento do lado
, podemos usar a relação na qual o lado
é a base de um triângulo isósceles com dois lados iguais a
. Usando a fórmula do comprimento do lado em termos do raio e do ângulo central:
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
,
e
. Já temos
em termos de
:
E também a relação entre
e
:
Podemos substituir
na segunda equação:
Passo 6
Agora, isolando
, temos:
Mas sabemos que
, então podemos igualar as duas expressões:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A expressão para
em termos de
,
e
é: