Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto . Na região a velocidade da onda é , enquanto que na região a velocidade da onda é . Uma onda senoidal incide a esquerda ; parte da onda é transmitida parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
a) Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão
b) em função das variáveis disponíveis no problema.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma situação onde duas cordas estão unidas no ponto . Do lado esquerdo (), a velocidade da onda é , e do lado direito () é . Quando uma onda senoidal bate nessa junção, parte dela é refletida e parte é transmitida. Nosso objetivo é encontrar as razões e , onde é a amplitude da onda incidente, a da refletida e a da transmitida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade da função de onda e da sua derivada espacial no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a função de onda e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em . Isso quer dizer que, no ponto onde as cordas se encontram, não pode haver “saltos” na posição da onda nem na inclinação da corda. Em termos matemáticos, isso dá duas condições:
– a posição da onda à esquerda deve ser igual à direita.
– a inclinação da onda à esquerda deve ser igual à direita.
Passo 3
Vamos aplicar a primeira condição de continuidade, ou seja, igualar as funções de onda em . Para :
E para :
Igualando as duas expressões:
Lembrando que , podemos simplificar:
Fatorando :
Como isso deve valer para qualquer , podemos dividir ambos os lados por :
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda condição de continuidade, que envolve as derivadas espaciais das funções de onda. Primeiro, calculamos a derivada de em relação a para :
Em :
Como :
Agora, para :
Em :
Igualando as duas derivadas:
Cancelando :
Lembrando que da Passo 3, substituímos:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar em termos de e as velocidades e . Sabemos que e , então podemos expressar e . Substituindo esses valores na equação:
Podemos simplificar dos dois lados:
Agora, multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Reagrupando os termos com :
Fatorando e :
Finalmente, isolando :
Passo 6
Agora que temos , podemos voltar à expressão para encontrar :