Duas lentes feitas de tipos de vidros que têm diferentes índices de refração n1 e n2 são cimentadas juntas para formar uma parelha óptica. Em geral, parelhas ópticas são utilizadas para a correção de aberrações cromáticas em dispositivos ópticos. A primeira lente de certa parelha possui índice de refração n1, um lado plano e um côncavo com raio de curvatura R. A segunda lente possui índice de refração
n2 e dois lados convexos com raios de curvatura também R. Mostre que a parelha pode ser modelada como uma lente delgada simples de distância focal descrita por
1f=2 n2-n1-1R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas lentes feitas de tipos de vidros diferentes com índices de refração 1f = 2n2 - n1 - 1R e . Essas lentes são coladas juntas para formar uma parelha óptica, que geralmente é usada para corrigir aberrações cromáticas em dispositivos ópticos. A primeira lente é plana de um lado e côncava do outro com raio de curvatura . A segunda lente é convexa em ambos os lados, também com raio de curvatura . Nosso objetivo é mostrar que essa parelha pode ser modelada como uma lente delgada simples com uma distância focal dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as lentes combinadas funcionam e usar a fórmula das lentes delgadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância focal 1f = (n - 1) ( 1R1 - 1R2 ) de uma lente delgada é dada pela fórmula de Gauss:
Aqui, é o índice de refração do material da lente, e e são os raios de curvatura dos lados da lente. O sinal dos raios de curvatura depende de como a lente está curvada (convexa ou côncava).

Passo 3

Vamos analisar cada uma das duas lentes na parelha:
  1. Primeira Lente (Lente 1):
    • Índice de refração: 1f1 = (n1 - 1) ( 1infty - 1-R ) = (n1 - 1) ( 0 + 1R ) = n1 - 1R
    • Um lado plano ( 1f2 = (n2 - 1) ( 1R - 1-R ) = (n2 - 1) ( 1R + 1R ) = 2(n2 - 1)R ) e um lado côncavo com raio de curvatura ( , já que é côncavo).
    Aplicando a fórmula de Gauss:
  2. Segunda Lente (Lente 2):
    • Índice de refração:
    • Dois lados convexos, ambos com raio de curvatura ( e , já que um lado é convexo e o outro também, mas na montagem está sendo considerado para a fórmula).
    Aplicando a fórmula de Gauss:

Passo 4

Agora, como as duas lentes estão cimentadas juntas, elas funcionam como uma única lente composta. Para lentes finas em contato, as potências ópticas se somam. A potência óptica Phitotal = Phi1 + Phi2 = 1f1 + 1f2 = n1 - 1R + 2(n2 - 1)R de uma lente é dada por .
Então, a potência total da parelha óptica é:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da potência total:
1f = n1 - 1 + 2(n2 - 1)R = n1 - 1 + 2n2 - 2R = 2n2 - n1 - 1R

Resposta

Portanto, a parelha óptica pode ser modelada como uma lente delgada simples com distância focal dada por:
1f = 2n2 - n1 - 1R

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