Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível 2(A+B), 2 A+2 B, 5 A-12 B, A+B+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos algumas expressões envolvendo vetores , e . Nosso foco aqui é entender como combinar vetores usando operações de adição e multiplicação por escalares. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades básicas da álgebra vetorial, como a distributiva e a comutativa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Aqui, temos um escalar 2 multiplicando a soma dos vetores e . A propriedade distributiva nos permite distribuir o escalar dentro dos parênteses.

Passo 3

Aplicando a distributiva, multiplicamos o 2 por cada vetor dentro dos parênteses:
2(A + B) = 2A + 2B
Isso significa que multiplicar a soma dos vetores por 2 é o mesmo que multiplicar cada vetor individualmente por 2 e depois somá-los.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda expressão: 2(A + B) = 2A + 2B . Já vimos no passo anterior que essa expressão é igual a pelo uso da propriedade distributiva. Portanto, já determinamos que:

Passo 5

Seguimos para a terceira expressão: 5A - 12B . Aqui, temos múltiplos escalares aplicados aos vetores e . Podemos manter essa expressão assim, ou se quisermos fatorar um escalar comum, mas nesse caso não há um escalar comum claro. Então, essa expressão já está simplificada:

Passo 6

Por fim, temos a expressão A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C . A adição de vetores é comutativa e associativa, o que significa que a ordem em que somamos os vetores não altera o resultado. Portanto, podemos reorganizar ou agrupar os vetores da maneira que quisermos:

Resposta

As expressões determinadas são:
2(A + B) = 2A + 2B
2A + 2B = 2A + 2B
5A - 12B = 5A - 12B
A + B + C = A + B + C

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