Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos algumas expressões envolvendo transposição de matrizes e vetores, e multiplicações entre eles. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente envolvendo operações com matrizes e vetores. Para resolver, vamos precisar saber como funciona a transposição de matrizes e as regras de multiplicação entre matrizes e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Aqui,
é uma matriz e
é um vetor. A transposição de
, representada por
, basicamente troca as linhas pelas colunas da matriz. Para multiplicar
por
, as dimensões precisam ser compatíveis, ou seja, o número de colunas de
deve ser igual ao número de linhas de
. Se isso for verdade, a multiplicação resulta em um novo vetor.
Passo 3
Agora, vamos para
. Aqui,
é a transposta do vetor
, tornando-o uma matriz linha.
é outra matriz. Para multiplicar
por
, novamente, as dimensões devem se alinhar: o número de colunas de
precisa ser igual ao número de linhas de
. Se sim, o resultado será uma nova matriz.
Passo 4
A próxima expressão é
. Primeiro, vamos simplificar dentro do parêntese:
é uma combinação linear das matrizes
e
. A transposição dessa combinação,
, é igual a
, graças à propriedade da transposição. Então, multiplicamos isso pelo vetor
, garantindo que as dimensões estejam compatíveis para a multiplicação.
Passo 5
Por último, temos
. Aqui,
é a transposta do vetor
, tornando-o uma matriz linha. Multiplicamos isso pela combinação linear
. Assim como antes, precisamos verificar se as dimensões de
são compatíveis com as de
e
para que a multiplicação seja possível.
Resposta
Todas as expressões são possíveis de serem determinadas, desde que as dimensões das matrizes e vetores envolvidos sejam compatíveis para as operações de multiplicação. As expressões finais são:
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