Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível A^top b, b^top B,(3 A-2 B)^top a, a^top(3 A-2 B)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos algumas expressões envolvendo transposição de matrizes e vetores, e multiplicações entre eles. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente envolvendo operações com matrizes e vetores. Para resolver, vamos precisar saber como funciona a transposição de matrizes e as regras de multiplicação entre matrizes e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão A^top b. Aqui, A é uma matriz e b é um vetor. A transposição de A, representada por A^top, basicamente troca as linhas pelas colunas da matriz. Para multiplicar A^top por b, as dimensões precisam ser compatíveis, ou seja, o número de colunas de A^top deve ser igual ao número de linhas de b. Se isso for verdade, a multiplicação resulta em um novo vetor.

Passo 3

Agora, vamos para b^top B. Aqui, b^top é a transposta do vetor b, tornando-o uma matriz linha. B é outra matriz. Para multiplicar b^top por B, novamente, as dimensões devem se alinhar: o número de colunas de b^top precisa ser igual ao número de linhas de B. Se sim, o resultado será uma nova matriz.

Passo 4

A próxima expressão é (3 A - 2 B)^top a. Primeiro, vamos simplificar dentro do parêntese: 3 A - 2 B é uma combinação linear das matrizes A e B. A transposição dessa combinação, (3 A - 2 B)^top, é igual a 3 A^top - 2 B^top, graças à propriedade da transposição. Então, multiplicamos isso pelo vetor a, garantindo que as dimensões estejam compatíveis para a multiplicação.

Passo 5

Por último, temos a^top(3 A - 2 B). Aqui, a^top é a transposta do vetor a, tornando-o uma matriz linha. Multiplicamos isso pela combinação linear 3 A - 2 B. Assim como antes, precisamos verificar se as dimensões de a^top são compatíveis com as de A e B para que a multiplicação seja possível.

Resposta

Todas as expressões são possíveis de serem determinadas, desde que as dimensões das matrizes e vetores envolvidos sejam compatíveis para as operações de multiplicação. As expressões finais são:
  1. A^top b
  2. b^top B
  3. (3 A - 2 B)^top a = 3 A^top a - 2 B^top a
  4. a^top(3 A - 2 B) = 3 a^top A - 2 a^top B

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