Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível a^top C C^top a, a^top C^2 a, b C^top C b^top, b C C^top b^top

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar ou justificar algumas expressões envolvendo vetores e matrizes. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com produtos envolvendo vetores transpostos e matrizes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de transposição e multiplicação de matrizes e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão a^top C C^top a. Aqui, a^top é o vetor transposto de a, C é uma matriz e C^top é a transposta de C. O produto C C^top resulta em outra matriz. Então, estamos fazendo o produto do vetor transposto a^top com essa nova matriz e depois com o vetor a. Isso basicamente calcula uma forma quadrática que resulta em um escalar.

Passo 3

Agora, vamos para a expressão a^top C^2 a. Aqui, C^2 significa que estamos multiplicando a matriz C por ela mesma: C C. Assim como no passo anterior, temos um vetor transposto multiplicando uma matriz resultante e depois outro vetor. Isso também resulta em um escalar, mas envolve a matriz C elevada ao quadrado.

Passo 4

A terceira expressão é b C^top C b^top. Vamos quebrar isso: C^top é a transposta de C, então b C^top é o produto de um vetor linha b com a matriz C^top, resultando em outro vetor. Daí, multiplicamos esse vetor pelo produto C b^top. Aqui, temos a multiplicação de dois vetores, que, dependendo do contexto, pode resultar em um escalar se for produto interno, ou uma matriz se for produto externo. Sem mais informações, não podemos simplificar mais.

Passo 5

Finalmente, temos b C C^top b^top. Nesse caso, multiplicamos a matriz C pela sua transposta C^top, resultando em uma nova matriz. Então, multiplicamos o vetor b por essa matriz e depois pelo vetor transposto b^top. Isso dá uma forma quadrática semelhante à primeira expressão, resultando em um escalar.

Resposta

  1. a^top C C^top a é uma forma quadrática que resulta em um escalar.
  2. a^top C^2 a também é uma forma quadrática que resulta em um escalar, envolvendo a matriz C ao quadrado.
  3. b C^top C b^top não pode ser simplificada sem mais informações sobre os vetores e matrizes envolvidos.
  4. b C C^top b^top é uma forma quadrática que resulta em um escalar.

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