Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui envolve álgebra de matrizes, especificamente operações de adição e multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender que, diferente dos números comuns, a ordem na multiplicação de matrizes importa (ou seja,
pode não ser igual a
).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Para simplificar isso, vamos aplicar a distributiva, que funciona de forma similar ao produto de binômios na álgebra comum. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Comparando isso com a segunda expressão do exercício, que é
, vemos que são exatamente iguais. Então, concluímos que:
Passo 5
Agora, vamos analisar a terceira expressão:
. Se compararmos com o que obtivemos anteriormente, a gente vê que falta a parte
. Para que
seja igual a
, precisaríamos que
, ou seja, que
.
Isso só acontece se as matrizes
e
comutarem, ou seja, a ordem da multiplicação não altera o resultado. Portanto, somente nesse caso específico podemos dizer que:
Resposta
As expressões
e
são iguais. Já a expressão
só é igual às outras se
e
comutarem, ou seja, se
.
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é chamada simétrica quando
e é chamada anti-simétrica quando
Mostre que para toda matriz de ordem
temos que
é simétrica.
Mostre que para toda matriz