Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível (A+B)(A-B), A^2-A B+B A-B^2, A^2-B^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui envolve álgebra de matrizes, especificamente operações de adição e multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender que, diferente dos números comuns, a ordem na multiplicação de matrizes importa (ou seja, pode não ser igual a ).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB . Para simplificar isso, vamos aplicar a distributiva, que funciona de forma similar ao produto de binômios na álgebra comum. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  • A^2 - AB + BA - B^2
Então, a expressão fica:

Passo 4

Comparando isso com a segunda expressão do exercício, que é (A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2 , vemos que são exatamente iguais. Então, concluímos que:

Passo 5

Agora, vamos analisar a terceira expressão: A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) . Se compararmos com o que obtivemos anteriormente, a gente vê que falta a parte . Para que seja igual a , precisaríamos que , ou seja, que .
Isso só acontece se as matrizes e comutarem, ou seja, a ordem da multiplicação não altera o resultado. Portanto, somente nesse caso específico podemos dizer que:

Resposta

As expressões e são iguais. Já a expressão só é igual às outras se e comutarem, ou seja, se .

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