Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem algumas expressões envolvendo matrizes e vetores, e precisamos determinar cada uma delas ou dizer por que não dá pra fazer. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e propriedades de transposição. Vamos precisar lembrar como somar matrizes, multiplicar matrizes por vetores e transpor matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira expressão:
. Aqui,
e
são matrizes e
é o transposto de um vetor
, ou seja, um vetor linha.
Sabemos que a multiplicação de uma matriz por um vetor linha segue as regras de distribuição, então podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda expressão:
. Vimos no passo anterior que isso é igual a
. Então, já temos a expressão simplificada:
Isso mostra que a multiplicação de uma soma de matrizes por um vetor linha é igual à soma das multiplicações individuais.
Passo 4
Terceira expressão:
. Aqui,
é um vetor e
é uma matriz. Para multiplicar um vetor por uma matriz, precisamos ter atenção às dimensões. Supondo que
seja um vetor linha, a multiplicação
está definida se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
.
Se as dimensões não conferirem, não dá pra multiplicar e, portanto, a expressão não é possível.
Passo 5
Última expressão:
. Aqui,
é a transposta da matriz
. A subtração de matrizes é possível se as duas matrizes tiverem as mesmas dimensões.
Então, se
é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas), podemos subtrair
dela:
Isso resulta em uma matriz que, se
for quadrada, é uma matriz anti-simétrica.
Resposta
-
-
-
é possível se as dimensões de e permitirem a multiplicação, caso contrário, não é possível. -
é possível se for uma matriz quadrada, resultando em uma matriz anti-simétrica.
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