Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível A b^top+B b^top,(A+B) b^top, b A, B-B^top

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem algumas expressões envolvendo matrizes e vetores, e precisamos determinar cada uma delas ou dizer por que não dá pra fazer. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e propriedades de transposição. Vamos precisar lembrar como somar matrizes, multiplicar matrizes por vetores e transpor matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira expressão: A b^top + B b^top. Aqui, A e B são matrizes e b^top é o transposto de um vetor b, ou seja, um vetor linha.
Sabemos que a multiplicação de uma matriz por um vetor linha segue as regras de distribuição, então podemos fatorar b^top:
A b^top + B b^top = (A + B) b^top

Passo 3

Agora, vamos para a segunda expressão: (A + B) b^top. Vimos no passo anterior que isso é igual a A b^top + B b^top. Então, já temos a expressão simplificada:
(A + B) b^top = A b^top + B b^top
Isso mostra que a multiplicação de uma soma de matrizes por um vetor linha é igual à soma das multiplicações individuais.

Passo 4

Terceira expressão: b A. Aqui, b é um vetor e A é uma matriz. Para multiplicar um vetor por uma matriz, precisamos ter atenção às dimensões. Supondo que b seja um vetor linha, a multiplicação b A está definida se o número de colunas de b for igual ao número de linhas de A.
Se as dimensões não conferirem, não dá pra multiplicar e, portanto, a expressão não é possível.

Passo 5

Última expressão: B - B^top. Aqui, B^top é a transposta da matriz B. A subtração de matrizes é possível se as duas matrizes tiverem as mesmas dimensões.
Então, se B é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas), podemos subtrair B^top dela:
B - B^top
Isso resulta em uma matriz que, se B for quadrada, é uma matriz anti-simétrica.

Resposta

  1. A b^top + B b^top = (A + B) b^top
  2. (A + B) b^top = A b^top + B b^top
  3. b A é possível se as dimensões de b e A permitirem a multiplicação, caso contrário, não é possível.
  4. B - B^top é possível se B for uma matriz quadrada, resultando em uma matriz anti-simétrica.

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