Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para determinar certas expressões envolvendo vetores e matrizes, ou então justificar se isso não for possível. Vamos precisar entender produtos entre vetores e matrizes, transpostas, e propriedades dessas operações para resolver. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Aqui,
é um vetor coluna e
é uma matriz. O símbolo
representa a transposta. Vamos ver o que isso significa na prática.
Passo 3
Para multiplicar
(um vetor linha) pela matriz
e depois pelo vetor
(vetor coluna), precisamos que as dimensões sejam compatíveis. Se
é uma matriz
, e
é um vetor
, então
resulta em um escalar. Isso porque a multiplicação
dá um vetor linha, e multiplicando por
novamente, temos um único número.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda expressão:
. Aqui, além do que já vimos, temos a soma da matriz com sua transposta,
.
Passo 5
A soma de uma matriz com sua transposta resulta em uma matriz simétrica, porque
. Então,
também será um escalar, assim como a primeira expressão.
Passo 6
Vamos para a terceira expressão:
. Aqui,
é um vetor coluna e
é uma matriz. Precisamos verificar as dimensões para entender o resultado.
Passo 7
Multiplicando
(vetor
) pela matriz
(
) resulta em um vetor
. Em seguida, multiplicando esse resultado por
(vetor
), o produto final será uma matriz
. Portanto,
é uma matriz.
Passo 8
Finalmente, a quarta expressão:
. Aqui, temos a diferença entre uma matriz e sua transposta,
.
Passo 9
A diferença entre uma matriz e sua transposta resulta em uma matriz antissimétrica, pois
. Agora, multiplicando
pelo resultado e depois por
, teremos novamente uma matriz
.
Resposta
-
é um escalar. -
é um escalar. -
é uma matriz. -
é uma matriz antissimétrica.
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