Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível a^top A a, a^top(A+A^top) a, b B b^top, b(B-B^top) b^top

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para determinar certas expressões envolvendo vetores e matrizes, ou então justificar se isso não for possível. Vamos precisar entender produtos entre vetores e matrizes, transpostas, e propriedades dessas operações para resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão a^top A a. Aqui, a é um vetor coluna e A é uma matriz. O símbolo top representa a transposta. Vamos ver o que isso significa na prática.

Passo 3

Para multiplicar a^top (um vetor linha) pela matriz A e depois pelo vetor a (vetor coluna), precisamos que as dimensões sejam compatíveis. Se A é uma matriz n times n, e a é um vetor n times 1, então a^top A a resulta em um escalar. Isso porque a multiplicação a^top A dá um vetor linha, e multiplicando por a novamente, temos um único número.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda expressão: a^top(A+A^top) a. Aqui, além do que já vimos, temos a soma da matriz com sua transposta, A + A^top.

Passo 5

A soma de uma matriz com sua transposta resulta em uma matriz simétrica, porque (A + A^top)^top = A^top + (A^top)^top = A^top + A = A + A^top. Então, a^top(A+A^top) a também será um escalar, assim como a primeira expressão.

Passo 6

Vamos para a terceira expressão: b B b^top. Aqui, b é um vetor coluna e B é uma matriz. Precisamos verificar as dimensões para entender o resultado.

Passo 7

Multiplicando b (vetor n times 1) pela matriz B ( n times n) resulta em um vetor n times 1. Em seguida, multiplicando esse resultado por b^top (vetor 1 times n), o produto final será uma matriz n times n. Portanto, b B b^top é uma matriz.

Passo 8

Finalmente, a quarta expressão: b(B-B^top) b^top. Aqui, temos a diferença entre uma matriz e sua transposta, B - B^top.

Passo 9

A diferença entre uma matriz e sua transposta resulta em uma matriz antissimétrica, pois (B - B^top)^top = B^top - B = -(B - B^top). Agora, multiplicando b pelo resultado e depois por b^top, teremos novamente uma matriz n times n.

Resposta

  1. a^top A a é um escalar.
  2. a^top(A+A^top) a é um escalar.
  3. b B b^top é uma matriz.
  4. b(B-B^top) b^top é uma matriz antissimétrica.

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