Uma matriz quadrada
é chamada simétrica quando
e é chamada anti-simétrica quando
Mostre que para toda matriz
de ordem
temos que
é simétrica.
Mostre que para toda matriz
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. A questão fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. Uma matriz quadrada
é simétrica se sua transposta
é igual a ela mesma, ou seja,
. Já uma matriz é anti-simétrica se sua transposta é igual ao negativo dela,
.
O exercício quer que a gente mostre que, para qualquer matriz
de ordem
, o produto
é uma matriz simétrica. Vamos precisar conhecer o que é a transposta de uma matriz e como multiplicar matrizes.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Se
é uma matriz
, então
será uma matriz
.
Nosso objetivo é mostrar que
é simétrica, ou seja, que
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a transposta do produto
. Existe uma propriedade que diz que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem invertida. Matemáticamente, isso é:
Passo 4
Agora, sabemos que a transposta de uma transposta retorna a matriz original. Ou seja,
.
Substituindo isso na equação que temos:
Passo 5
Observamos que
significa exatamente que
é igual à sua própria transposta. Portanto, de acordo com a definição,
é uma matriz simétrica.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer matriz
de ordem
, o produto
é uma matriz simétrica.
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