Uma matriz quadrada A é chamada simétrica quando A^t=A e é chamada anti-simétrica quando A^t=-A
Mostre que para toda matriz Z de ordem m times n temos que Z Z^t é simétrica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. A questão fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. Uma matriz quadrada é simétrica se sua transposta é igual a ela mesma, ou seja, . Já uma matriz é anti-simétrica se sua transposta é igual ao negativo dela, .
O exercício quer que a gente mostre que, para qualquer matriz de ordem , o produto é uma matriz simétrica. Vamos precisar conhecer o que é a transposta de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Se é uma matriz , então será uma matriz .
Nosso objetivo é mostrar que é simétrica, ou seja, que .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a transposta do produto (Z cdot Z^t)^t = (Z^t)^t cdot Z^t . Existe uma propriedade que diz que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem invertida. Matemáticamente, isso é:

Passo 4

Agora, sabemos que a transposta de uma transposta retorna a matriz original. Ou seja, (Z cdot Z^t)^t = Z cdot Z^t .
Substituindo isso na equação que temos:

Passo 5

Observamos que significa exatamente que é igual à sua própria transposta. Portanto, de acordo com a definição, é uma matriz simétrica.

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer matriz de ordem , o produto é uma matriz simétrica.

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