Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar algumas expressões envolvendo as matrizes
e
, ou justificar se não for possível. Os termos que precisamos encontrar são
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes, potências de matrizes e transposição.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a multiplicação de matrizes. Para multiplicar duas matrizes
e
, o número de colunas de
precisa ser igual ao número de linhas de
. O resultado será uma nova matriz cujas dimensões correspondem às linhas de
e às colunas de
.
Passo 3
Agora, sobre a potência de uma matriz. Quando temos
, isso significa que vamos multiplicar a matriz
por ela mesma três vezes:
. Para que isso seja possível, é essencial que
seja uma matriz quadrada, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas.
Passo 4
Vamos começar determinando
. Sabendo que
precisa ser quadrada, assumimos que ela tem dimensão
. Então,
. Se
não for quadrada, essa operação não seria possível.
Passo 5
Em seguida, temos
. Para multiplicar
por
, o número de colunas de
deve ser igual ao número de linhas de
. Se
é
e
é
, então
será uma matriz
.
Passo 6
Agora, vamos para
. Isso significa multiplicar
por ela mesma:
. Para que essa multiplicação seja possível, o número de colunas da primeira
deve ser igual ao número de linhas da segunda
. Se
for
, então para multiplicar por ela mesma, precisaríamos que
, ou seja,
seria quadrada.
Passo 7
Finalmente, temos
. Aqui, estamos multiplicando
pela transposta de
. A transposta de uma matriz
, denotada por
, inverte suas linhas e colunas. Então, se
é
,
será
, e a multiplicação
será possível, resultando em uma matriz
.
Resposta
Resumindo:
-
é possível se for uma matriz quadrada e é igual a . -
é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . -
é possível se for uma matriz quadrada. -
é sempre possível se tiver dimensões compatíveis para a multiplicação com sua transposta.
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Determine as matrizes conforme as regras estabelecidas:
, onde
Uma matriz
é denominada idempotente quando
e denominada nilpotente se existe
tal que
. Dê exemplos de matrizes idempotentes e nilpotentes que não sejam a matriz nula ou a matriz identidade.