Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível B^3, B C,(B C)^2,(B C)(B C)^top

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar algumas expressões envolvendo as matrizes e , ou justificar se não for possível. Os termos que precisamos encontrar são , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes, potências de matrizes e transposição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a multiplicação de matrizes. Para multiplicar duas matrizes e , o número de colunas de precisa ser igual ao número de linhas de . O resultado será uma nova matriz cujas dimensões correspondem às linhas de e às colunas de .

Passo 3

Agora, sobre a potência de uma matriz. Quando temos , isso significa que vamos multiplicar a matriz por ela mesma três vezes: . Para que isso seja possível, é essencial que seja uma matriz quadrada, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas.

Passo 4

Vamos começar determinando . Sabendo que precisa ser quadrada, assumimos que ela tem dimensão . Então, . Se não for quadrada, essa operação não seria possível.

Passo 5

Em seguida, temos . Para multiplicar por , o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Se é e é , então será uma matriz .

Passo 6

Agora, vamos para . Isso significa multiplicar por ela mesma: . Para que essa multiplicação seja possível, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda . Se for , então para multiplicar por ela mesma, precisaríamos que , ou seja, seria quadrada.

Passo 7

Finalmente, temos . Aqui, estamos multiplicando pela transposta de . A transposta de uma matriz , denotada por , inverte suas linhas e colunas. Então, se é , será , e a multiplicação será possível, resultando em uma matriz .

Resposta

Resumindo:
  • é possível se for uma matriz quadrada e é igual a .
  • é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de .
  • é possível se for uma matriz quadrada.
  • é sempre possível se tiver dimensões compatíveis para a multiplicação com sua transposta.

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