Uma matriz é denominada idempotente quando e denominada nilpotente se existe tal que . Dê exemplos de matrizes idempotentes e nilpotentes que não sejam a matriz nula ou a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos de matrizes que são idempotentes e nilpotentes, mas que não sejam nem a matriz nula (toda cheia de zeros) nem a matriz identidade (que tem 1 na diagonal principal e 0 nos outros lugares). Isso envolve entender dois conceitos da álgebra linear: matrizes idempotentes e matrizes nilpotentes. Vamos precisar de alguns conceitos básicos de matrizes e suas potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz idempotente. Uma matriz é idempotente se, quando multiplicamos ela por si mesma, o resultado é a própria matriz. Em termos matemáticos:
Ou seja,
Para encontrar um exemplo que não seja a matriz nula nem a identidade, podemos pensar em uma matriz simples 2x2. Vamos tentar:
Vamos verificar se essa matriz é idempotente:
Então, essa matriz é idempotente e não é a matriz nula nem a identidade.
Passo 3
Agora, vamos para as matrizes nilpotentes. Uma matriz é nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que:
Ou seja, quando multiplicamos a matriz por ela mesma vezes, o resultado é a matriz nula. Vamos encontrar um exemplo que não seja a matriz nula.
Vamos considerar a seguinte matriz 2x2:
Vamos calcular :
Então, , o que significa que é uma matriz nilpotente de ordem 2. Novamente, essa matriz não é a matriz nula nem a identidade.
Resposta
Um exemplo de matriz idempotente que não é a matriz nula nem a identidade é:
E um exemplo de matriz nilpotente que não é a matriz nula nem a identidade é: