Uma matriz A é denominada idempotente quando A^2=A e denominada nilpotente se existe m in Z tal que A^m=0. Dê exemplos de matrizes idempotentes e nilpotentes que não sejam a matriz nula ou a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos de matrizes que são idempotentes e nilpotentes, mas que não sejam nem a matriz nula (toda cheia de zeros) nem a matriz identidade (que tem 1 na diagonal principal e 0 nos outros lugares). Isso envolve entender dois conceitos da álgebra linear: matrizes idempotentes e matrizes nilpotentes. Vamos precisar de alguns conceitos básicos de matrizes e suas potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz idempotente. Uma matriz A^2 = A é idempotente se, quando multiplicamos ela por si mesma, o resultado é a própria matriz. Em termos matemáticos:
A times A = A
Ou seja,
A = 1 & 0 0 & 0
Para encontrar um exemplo que não seja a matriz nula nem a identidade, podemos pensar em uma matriz simples 2x2. Vamos tentar:
A^2 = A times A = 1 & 0 0 & 0 times 1 & 0 0 & 0 = 1 & 0 0 & 0 = A
Vamos verificar se essa matriz é idempotente:
Então, essa matriz é idempotente e não é a matriz nula nem a identidade.

Passo 3

Agora, vamos para as matrizes nilpotentes. Uma matriz B^m = 0 é nilpotente se existe um número inteiro positivo B = 0 & 1 0 & 0 tal que:
B^2 = B times B = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 = 0 & 0 0 & 0 = 0
Ou seja, quando multiplicamos a matriz por ela mesma vezes, o resultado é a matriz nula. Vamos encontrar um exemplo que não seja a matriz nula.
Vamos considerar a seguinte matriz 2x2:
Vamos calcular :
Então, , o que significa que é uma matriz nilpotente de ordem 2. Novamente, essa matriz não é a matriz nula nem a identidade.

Resposta

Um exemplo de matriz idempotente que não é a matriz nula nem a identidade é:
A = 1 & 0 0 & 0
E um exemplo de matriz nilpotente que não é a matriz nula nem a identidade é:
B = 0 & 1 0 & 0

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