Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as expressões
,
,
e
. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com operações de matrizes como potenciação e transposição. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como a transposição afeta essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar
. Isso significa que temos que multiplicar a matriz
por ela mesma:
Essa operação é válida se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
. O resultado será uma nova matriz resultante dessa multiplicação.
Passo 3
Agora, vamos para
. Similarmente, isso é:
A condição para essa multiplicação também é que
seja uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas e colunas devem ser iguais.
Passo 4
Vamos analisar
. Primeiro,
é a transposta de
, que basicamente troca as linhas pelas colunas da matriz
. Então, a expressão completa fica:
Para que essa multiplicação seja possível, a matriz transposta
deve ser quadrada.
Passo 5
Por fim, vamos determinar
. Primeiro, calculamos
como fizemos no Passo 2:
Depois, aplicamos a transposição:
Sabemos que a transposição de um produto de matrizes segue a regra:
Então,
é igual a
.
Resposta
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, onde