Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível A^2, B^2,(A^top)^2,(A^2)^top

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as expressões , , e . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com operações de matrizes como potenciação e transposição. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como a transposição afeta essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar A^2 = A times A . Isso significa que temos que multiplicar a matriz por ela mesma:
Essa operação é válida se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . O resultado será uma nova matriz resultante dessa multiplicação.

Passo 3

Agora, vamos para B^2 = B times B . Similarmente, isso é:
A condição para essa multiplicação também é que seja uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas e colunas devem ser iguais.

Passo 4

Vamos analisar (A^top)^2 = A^top times A^top . Primeiro, é a transposta de , que basicamente troca as linhas pelas colunas da matriz . Então, a expressão completa fica:
Para que essa multiplicação seja possível, a matriz transposta deve ser quadrada.

Passo 5

Por fim, vamos determinar A^2 = A times A . Primeiro, calculamos (A^2)^top = (A times A)^top como fizemos no Passo 2:
(A times A)^top = A^top times A^top
Depois, aplicamos a transposição:
Sabemos que a transposição de um produto de matrizes segue a regra:
Então, é igual a .

Resposta

A^2 &= A times A B^2 &= B times B (A^top)^2 &= A^top times A^top (A^2)^top &= (A^top)^2

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