Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as expressões das multiplicações de matrizes
,
,
e
ou justificar se não for possível. Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com operações de multiplicação de matrizes e transposição. Para resolver isso, precisamos saber se as matrizes envolvidas têm dimensões compatíveis para serem multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar quando a multiplicação de duas matrizes é possível. Se temos uma matriz
de dimensão
e uma matriz
de dimensão
, a multiplicação
é possível somente se o número de colunas de
(
) for igual ao número de linhas de
(
). O resultado será uma matriz de dimensão
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para
. Se
é
e
é
, então
é possível e terá dimensão
. Portanto, a expressão
é válida se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
.
Passo 4
Agora, para
, vamos inverter a ordem. Se
é
e
é
, para multiplicar
, o número de colunas de
(que é
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Se
, então
é possível e terá dimensão
. Caso contrário, a multiplicação não é possível.
Passo 5
Vamos para
. A transposta de
, denotada por
, troca as linhas e colunas de
. Se
é
, então
é
. Para multiplicar
por
, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Como isso é sempre verdade, a multiplicação
é sempre possível e resultará em uma matriz de dimensão
.
Passo 6
Por último, temos
. Aqui,
é
e
é
. Para multiplicar, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Isso também é sempre verdade, então a multiplicação
é possível e resultará em uma matriz de dimensão
.
Resposta
Em resumo:
-
é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de e resultará em uma matriz . -
é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de e resultará em uma matriz . -
sempre é possível e resultará em uma matriz . -
sempre é possível e resultará em uma matriz .
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