Determine as expressões a seguir ou justifique caso não seja possível A B, B A, A A^top, A^top A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as expressões das multiplicações de matrizes A B, B A, A A^top e A^top A ou justificar se não for possível. Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com operações de multiplicação de matrizes e transposição. Para resolver isso, precisamos saber se as matrizes envolvidas têm dimensões compatíveis para serem multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar quando a multiplicação de duas matrizes é possível. Se temos uma matriz A de dimensão m times n e uma matriz B de dimensão p times q, a multiplicação A B é possível somente se o número de colunas de A ( n) for igual ao número de linhas de B ( p). O resultado será uma matriz de dimensão m times q.

Passo 3

Vamos aplicar isso para A B. Se A é m times n e B é n times p, então A B é possível e terá dimensão m times p. Portanto, a expressão A B é válida se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Passo 4

Agora, para B A, vamos inverter a ordem. Se B é n times p e A é m times n, para multiplicar B A, o número de colunas de B (que é p) deve ser igual ao número de linhas de A ( m). Se p = m, então B A é possível e terá dimensão n times n. Caso contrário, a multiplicação não é possível.

Passo 5

Vamos para A A^top. A transposta de A, denotada por A^top, troca as linhas e colunas de A. Se A é m times n, então A^top é n times m. Para multiplicar A por A^top, o número de colunas de A ( n) deve ser igual ao número de linhas de A^top ( n). Como isso é sempre verdade, a multiplicação A A^top é sempre possível e resultará em uma matriz de dimensão m times m.

Passo 6

Por último, temos A^top A. Aqui, A^top é n times m e A é m times n. Para multiplicar, o número de colunas de A^top ( m) deve ser igual ao número de linhas de A ( m). Isso também é sempre verdade, então a multiplicação A^top A é possível e resultará em uma matriz de dimensão n times n.

Resposta

Em resumo:
  • A B é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B e resultará em uma matriz m times p.
  • B A é possível se o número de colunas de B for igual ao número de linhas de A e resultará em uma matriz n times n.
  • A A^top sempre é possível e resultará em uma matriz m times m.
  • A^top A sempre é possível e resultará em uma matriz n times n.

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