Determine os extremantes de em .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos onde a função tem valores máximos ou mínimos, dentro do conjunto . Isso significa que estamos procurando os extremos da função dentro do círculo de raio 1 no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar estudar derivadas parciais e condições de extremo em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região A. Isso significa achar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 3

Resolvendo :
Agora, resolvendo :
Como e são sempre não negativos, a única solução é e .
Então, o único ponto crítico interno é .

Passo 4

Agora, precisamos verificar os extremos na fronteira da região A, que é o círculo .
Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Substituindo na função :
Vamos simplificar:
Então, na fronteira, se reduz a .

Passo 5

Para encontrar os extremos de na fronteira, sabemos que o seno assume seu valor máximo em quando e mínimo em quando .
Portanto, os pontos na fronteira onde a função atinge seus extremos são:

Resposta

Os pontos extremos de em são:

Exercícios relacionados

Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que se f tem um máximo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesse ponto, então para qualquer vetor do . Em seguida, conclua que .
Encontre os pontos críticos de . Em seguida, classifique-o.