Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos onde a função
tem valores máximos ou mínimos, dentro do conjunto
. Isso significa que estamos procurando os extremos da função dentro do círculo de raio 1 no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar estudar derivadas parciais e condições de extremo em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região A. Isso significa achar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Resolvendo
:
Agora, resolvendo
:
Como
e
são sempre não negativos, a única solução é
e
.
Então, o único ponto crítico interno é
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar os extremos na fronteira da região A, que é o círculo
.
Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Substituindo na função
:
Vamos simplificar:
Então, na fronteira,
se reduz a
.
Passo 5
Para encontrar os extremos de
na fronteira, sabemos que o seno assume seu valor máximo em
quando
e mínimo em
quando
.
Portanto, os pontos na fronteira onde a função atinge seus extremos são:
Resposta
Os pontos extremos de
em
são:
Exercícios relacionados
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que se f tem um máximo local em
e as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto, então
para qualquer vetor
do
. Em seguida, conclua que
.
Encontre os pontos críticos de
. Em seguida, classifique-o.