Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto
).
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor distância entre um ponto específico e um plano no espaço tridimensional. No caso, temos o ponto
e o plano definido pela equação
. Além disso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema. Depois, faremos a mesma coisa para o ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria espacial e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano. A fórmula geral para a distância
de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, o plano é
, que podemos reescrever como
. Então,
,
,
, e
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para o ponto
. Substituindo na fórmula:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa mesma coisa usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é útil para encontrar extremos (máximos ou mínimos) de uma função sujeita a uma restrição.
Queremos minimizar a distância do ponto
ao plano
. Mas, ao invés de minimizar a distância diretamente, vamos minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos. A função a ser minimizada é:
E a restrição é:
Passo 5
Aplicando os multiplicadores de Lagrange, introduzimos um multiplicador
e montamos o sistema de equações:
Calculando os gradientes:
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (2):
Da equação (1):
Da equação (3):
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
na equação da restrição (4):
Passo 8
Com
, encontramos:
Passo 9
Portanto, o ponto no plano que está mais próximo de
é
. Para encontrar a distância, calculamos a distância entre esses dois pontos:
Resposta
A menor distância entre o ponto
e o plano
é
.
Para o ponto
, seguindo os mesmos passos, a menor distância será a mesma,
, já que a posição do ponto em relação ao plano mantém a mesma distância calculada.
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Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
(d)
Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que se f tem um máximo local em
e as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto, então
para qualquer vetor
do
. Em seguida, conclua que
.