Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor distância entre um ponto específico e um plano no espaço tridimensional. No caso, temos o ponto e o plano definido pela equação . Além disso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema. Depois, faremos a mesma coisa para o ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria espacial e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano. A fórmula geral para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, o plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para o ponto . Substituindo na fórmula:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa mesma coisa usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é útil para encontrar extremos (máximos ou mínimos) de uma função sujeita a uma restrição.
Queremos minimizar a distância do ponto ao plano . Mas, ao invés de minimizar a distância diretamente, vamos minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos. A função a ser minimizada é:
E a restrição é:

Passo 5

Aplicando os multiplicadores de Lagrange, introduzimos um multiplicador e montamos o sistema de equações:
Calculando os gradientes:
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (2):
Da equação (1):
Da equação (3):

Passo 7

Agora, substituímos , e na equação da restrição (4):

Passo 8

Com , encontramos:

Passo 9

Portanto, o ponto no plano que está mais próximo de é . Para encontrar a distância, calculamos a distância entre esses dois pontos:

Resposta

A menor distância entre o ponto e o plano é .
Para o ponto , seguindo os mesmos passos, a menor distância será a mesma, , já que a posição do ponto em relação ao plano mantém a mesma distância calculada.

Exercícios relacionados

Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
Determine os extremantes de em .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que se f tem um máximo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesse ponto, então para qualquer vetor do . Em seguida, conclua que .