Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Então, a gente tem um ponto
e um plano definido pela equação
. O objetivo aqui é descobrir qual é a menor distância entre esse ponto e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a distância
entre um ponto
e um plano dado pela equação
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente projeta o vetor que vai do ponto até o plano na direção normal ao plano, e o resultado é a menor distância entre eles.
Passo 3
Primeiro, precisamos ajustar a equação do plano para o formato padrão
. A equação que temos é
. Vamos rearranjá-la:
Agora, identificamos
,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância. Nosso ponto é
, então
,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente. Primeiro, o numerador:
Então, o valor absoluto do numerador é
.
Agora, o denominador:
Passo 6
Finalmente, substituímos esses valores de volta na fórmula da distância:
Podemos racionalizar essa expressão multiplicando o numerador e o denominador por
:
Resposta
A menor distância entre o ponto
e o plano
é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
(d)
Determine os extremantes de
em
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto
Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.