Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Então, a gente tem um ponto e um plano definido pela equação . O objetivo aqui é descobrir qual é a menor distância entre esse ponto e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a distância entre um ponto e um plano dado pela equação . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente projeta o vetor que vai do ponto até o plano na direção normal ao plano, e o resultado é a menor distância entre eles.

Passo 3

Primeiro, precisamos ajustar a equação do plano para o formato padrão . A equação que temos é . Vamos rearranjá-la:
Agora, identificamos , , e .

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância. Nosso ponto é , então , e . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente. Primeiro, o numerador:
Então, o valor absoluto do numerador é .
Agora, o denominador:

Passo 6

Finalmente, substituímos esses valores de volta na fórmula da distância:
Podemos racionalizar essa expressão multiplicando o numerador e o denominador por :

Resposta

A menor distância entre o ponto e o plano é unidades.

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Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
Determine os extremantes de em
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
Determine os extremantes de em .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.