Mostre que se f tem um máximo local em
e as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto, então
para qualquer vetor
do
. Em seguida, conclua que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que temos uma função
que atinge um máximo local no ponto
. Além disso, as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto. Nosso objetivo é mostrar que a derivada direcional
é zero para qualquer vetor
no
e, por fim, concluir que o gradiente
também é o vetor zero. Para isso, vamos precisar entender o que são máximo local, derivadas parciais, derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um máximo local. Dizemos que
tem um máximo local em
se existem alguns pontos próximos a
onde
é maior ou igual ao valor da função nesses pontos. Ou seja,
para pontos
próximos a
.
Passo 3
Agora, falando das derivadas parciais, elas representam a taxa de variação da função
em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. No ponto
, temos as derivadas parciais
e
.
Passo 4
A derivada direcional
mede a taxa de variação da função
na direção de um vetor
. Ela pode ser calculada usando o gradiente:
Isso significa que é o produto interno do gradiente com o vetor
.
Passo 5
Como
tem um máximo local em
, significa que não há variação crescente na direção de qualquer vetor
. Portanto, a derivada direcional deve ser zero para evitar aumentos na função:
Passo 6
Usando a relação da derivada direcional com o gradiente, temos:
A única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todos os vetores
é se o gradiente
for o vetor zero.
Resposta
Portanto, concluímos que:
Exercícios relacionados
Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto
Encontre os pontos críticos de
. Em seguida, classifique-o.
Mostre que
não tem pontos críticos em
. Em seguida, verifique se há estremos absolutos de
em
.