Mostre que se f tem um máximo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então D_u f(a, b) = 0 para qualquer vetor u do R^2. Em seguida, conclua que nabla f(a, b) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que temos uma função que atinge um máximo local no ponto . Além disso, as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesse ponto. Nosso objetivo é mostrar que a derivada direcional é zero para qualquer vetor no e, por fim, concluir que o gradiente também é o vetor zero. Para isso, vamos precisar entender o que são máximo local, derivadas parciais, derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um máximo local. Dizemos que tem um máximo local em se existem alguns pontos próximos a onde é maior ou igual ao valor da função nesses pontos. Ou seja, para pontos próximos a .

Passo 3

Agora, falando das derivadas parciais, elas representam a taxa de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. No ponto , temos as derivadas parciais e .

Passo 4

A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor . Ela pode ser calculada usando o gradiente:
Isso significa que é o produto interno do gradiente com o vetor .

Passo 5

Como tem um máximo local em , significa que não há variação crescente na direção de qualquer vetor . Portanto, a derivada direcional deve ser zero para evitar aumentos na função:

Passo 6

Usando a relação da derivada direcional com o gradiente, temos:
A única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todos os vetores é se o gradiente for o vetor zero.

Resposta

Portanto, concluímos que:

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