Encontre os pontos críticos de
. Em seguida, classifique-o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e depois classificá-los. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre otimização de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero para achar os pontos críticos e, em seguida, usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Essas derivadas nos dão a inclinação da função nas direções de
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando essas derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Da primeira equação:
Substituindo esse valor de
na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais.
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 5
Com o discriminante
e
, pelo teste da segunda derivada, sabemos que o ponto crítico
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
O ponto crítico é
e ele é um ponto de máximo relativo.
Exercícios relacionados
Mostre que se f tem um máximo local em
e as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto, então
para qualquer vetor
do
. Em seguida, conclua que
.
Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que
não tem pontos críticos em
. Em seguida, verifique se há estremos absolutos de
em
.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b) .
(b)