Encontre os pontos críticos de . Em seguida, classifique-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e depois classificá-los. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre otimização de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero para achar os pontos críticos e, em seguida, usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Essas derivadas nos dão a inclinação da função nas direções de e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando essas derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Da primeira equação:
Substituindo esse valor de na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais.
Agora, calculamos o discriminante :

Passo 5

Com o discriminante e , pelo teste da segunda derivada, sabemos que o ponto crítico é um ponto de máximo relativo.

Resposta

O ponto crítico é e ele é um ponto de máximo relativo.

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Mostre que se f tem um máximo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesse ponto, então para qualquer vetor do . Em seguida, conclua que .
Determine os extremantes de em .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Mostre que não tem pontos críticos em . Em seguida, verifique se há estremos absolutos de em .
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(b) .