Determine os extremantes de cada função
a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os extremantes de várias funções. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas para encontrar máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de cada função, igualá-la a zero e resolver para encontrar os pontos críticos onde podem existir extremas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, calculamos a derivada de
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Para encontrar os extremantes, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, verificamos se esse ponto é um máximo ou mínimo. Calculamos a segunda derivada:
Como
, o ponto
é um ponto de máximo.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda função:
Novamente, vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.
Passo 7
Calculamos a derivada de
:
Passo 8
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 9
Calculamos a segunda derivada para determinar a natureza do ponto crítico:
Como
, o ponto
é um ponto de mínimo.
Passo 10
Vamos para a terceira função:
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.
Passo 11
Calculamos a derivada de
:
Passo 12
Igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 13
Calculamos a segunda derivada:
Para
:
Para
:
Passo 14
Continuando, a quarta função é:
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.
Passo 15
Calculamos a derivada de
:
Passo 16
Igualamos a derivada a zero:
Dividindo por -3:
Resolvendo a equação de segundo grau:
Passo 17
Calculamos a segunda derivada:
Para
:
Quando a segunda derivada é zero, precisamos usar o teste da primeira derivada ou analisar o comportamento da função.
Passo 18
Analisando a primeira derivada próxima a
:
- Para
: escolha , - Para
: escolha ,
Como a derivada não muda de sinal,
não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão.
Passo 19
A quinta função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.
Passo 20
Primeiro, aplicamos a regra do produto para derivar
:
Fatorando
:
Passo 21
Igualamos a derivada a zero:
As soluções são:
Passo 22
Analisamos a natureza dos pontos:
- Em
, multiplicidade par => ponto de mínimo ou máximo. - Em
, multiplicidade ímpar => ponto de inflexão. - Em
, multiplicidade simples => mudança de sinal, extremas.
Passo 23
A sexta função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.
Passo 24
Primeiro, escrevemos
como
e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 25
Igualamos a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Passo 26
Verificamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada para determinar a natureza do ponto. Calculando a segunda derivada:
Isso envolve cálculo mais complexo, então optamos por analisar o comportamento da primeira derivada:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Como a derivada passa de positiva para negativa, há um ponto de máximo em
.
Passo 27
A sétima função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.
Passo 28
Calculamos a derivada de
:
Passo 29
Igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando
, onde
é um inteiro.
Passo 30
Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
Calculamos a segunda derivada:
- Se
, temos máximo. - Se
, temos mínimo.
Para
:
- Se
par: => máximo. - Se
ímpar: => mínimo.
Passo 31
A oitava função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.
Passo 32
Calculamos a derivada de
:
Passo 33
Igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando:
Passo 34
Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
Calculamos a segunda derivada:
- Se
, temos máximo. - Se
, temos mínimo.
Para
:
- Máximos e mínimos alternam conforme o valor de
.
Passo 35
A nona função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.
Passo 36
Aplicamos a regra do produto para derivar
:
Passo 37
Igualamos a derivada a zero:
Passo 38
Calculamos a segunda derivada:
Para
:
Como
, é um ponto de mínimo.
Passo 39
A décima função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.
Passo 40
Calculamos a derivada de
:
Passo 41
Igualamos a derivada a zero:
Passo 42
Calculamos a segunda derivada:
Para
:
Como
, é um ponto de mínimo.
Passo 43
A décima primeira função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.
Passo 44
Calculamos a derivada de
:
Passo 45
Igualamos a derivada a zero:
Esta equação não possui solução analítica simples; precisamos usar métodos numéricos ou gráfico para encontrar os valores de
.
Resposta
A função
possui extremantes nos valores de
que satisfazem
, os quais devem ser encontrados por métodos numéricos.
Exercícios relacionados
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(a)
Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?
74.
74.
Calcule
e
de modo que a função
tenha um extremo relativo em (1,5).
Obtenha os extremos absolutos de
no intervalo
.