Determine os extremantes de cada função f a seguir:
l f(x)=-x^2-5 x-4 f(x)=2 x^2-8 x+11 f(x)=x^3-27 x+1 f(x)=-x^3+6 x^2-12 x+8 f(x)=(x-8)^3(x-6)^4 f(x)=1x^2+5 x-6 f(x)=cos 3 x f(x)=sen(2 x-pi4) f(x)=x cdot ln x f(x)=ln (x^2+1) f(x)=e^x^3-3 x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os extremantes de várias funções. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas para encontrar máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de cada função, igualá-la a zero e resolver para encontrar os pontos críticos onde podem existir extremas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x) = -x^2 - 5x - 4
Primeiro, calculamos a derivada de .

Passo 3

A derivada de f'(x) = ddx(-x^2) + ddx(-5x) + ddx(-4) em relação a f'(x) = -2x - 5 é:

Passo 4

Para encontrar os extremantes, igualamos a derivada a zero:
-2x - 5 = 0
Resolvendo para -2x = 5 :
x = -52

Passo 5

Agora, verificamos se esse ponto é um máximo ou mínimo. Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(-2x - 5) = -2
Como , o ponto é um ponto de máximo.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função:
f(x) = 2x^2 - 8x + 11
Novamente, vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 7

Calculamos a derivada de f'(x) = ddx(2x^2) + ddx(-8x) + ddx(11) :
f'(x) = 4x - 8

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
4x - 8 = 0
Resolvendo para 4x = 8 :
x = 2

Passo 9

Calculamos a segunda derivada para determinar a natureza do ponto crítico:
f''(x) = ddx(4x - 8) = 4
Como , o ponto é um ponto de mínimo.

Passo 10

Vamos para a terceira função:
f(x) = x^3 - 27x + 1
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 11

Calculamos a derivada de f'(x) = ddx(x^3) + ddx(-27x) + ddx(1) :
f'(x) = 3x^2 - 27

Passo 12

Igualamos a derivada a zero:
3x^2 - 27 = 0
Resolvendo para 3x^2 = 27 :
x^2 = 9
x = 3 ou x = -3

Passo 13

Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2 - 27) = 6x
Para f''(3) = 6 times 3 = 18 > 0 :
f''(-3) = 6 times (-3) = -18 < 0 => ponto de mínimo.
Para :
=> ponto de máximo.

Passo 14

Continuando, a quarta função é:
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 15

Calculamos a derivada de f'(x) = ddx(-x^3) + ddx(6x^2) + ddx(-12x) + ddx(8) :
f'(x) = -3x^2 + 12x - 12

Passo 16

Igualamos a derivada a zero:
-3x^2 + 12x - 12 = 0
Dividindo por -3:
x^2 - 4x + 4 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau:
x = 4 pm raiz16 - 162
x = 42 = 2

Passo 17

Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(-3x^2 + 12x - 12) = -6x + 12
Para f''(2) = -6 times 2 + 12 = 0 :
Quando a segunda derivada é zero, precisamos usar o teste da primeira derivada ou analisar o comportamento da função.

Passo 18

Analisando a primeira derivada próxima a :
  • Para : escolha ,
  • Para : escolha ,
Como a derivada não muda de sinal, não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão.

Passo 19

A quinta função é:
f(x) = (x - 8)^3(x - 6)^4
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 20

Primeiro, aplicamos a regra do produto para derivar f'(x) = 3(x - 8)^2(x - 6)^4 + 4(x - 8)^3(x - 6)^3 :
f'(x) = (x - 8)^2(x - 6)^3 [3(x - 6) + 4(x - 8)]
Fatorando f'(x) = (x - 8)^2(x - 6)^3 (3x - 18 + 4x - 32) :
f'(x) = (x - 8)^2(x - 6)^3 (7x - 50)

Passo 21

Igualamos a derivada a zero:
(x - 8)^2(x - 6)^3 (7x - 50) = 0
As soluções são:
x = 8 (com multiplicidade 2)
x = 6 (com multiplicidade 3)
x = 507

Passo 22

Analisamos a natureza dos pontos:
  • Em , multiplicidade par => ponto de mínimo ou máximo.
  • Em , multiplicidade ímpar => ponto de inflexão.
  • Em , multiplicidade simples => mudança de sinal, extremas.

Passo 23

A sexta função é:
f(x) = 1x^2 + 5x - 6
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 24

Primeiro, escrevemos f'(x) = -1 cdot (x^2 + 5x - 6)^-2 cdot (2x + 5) como f'(x) = -2x + 5(x^2 + 5x - 6)^2 e aplicamos a regra da cadeia:

Passo 25

Igualamos a derivada a zero:
-2x + 5(x^2 + 5x - 6)^2 = 0
O numerador deve ser zero:
2x + 5 = 0
x = -52

Passo 26

Verificamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada para determinar a natureza do ponto. Calculando a segunda derivada:
f''(x) = ddx ( -2x + 5(x^2 + 5x - 6)^2 )
Isso envolve cálculo mais complexo, então optamos por analisar o comportamento da primeira derivada:
  • Para f'(-3) = --6 + 5(9 -15 -6)^2 = --1(-12)^2 = 1144 > 0 , por exemplo f'(-2) = --4 + 5(4 -10 -6)^2 = -1(-12)^2 = -1144 < 0 :
  • Para , por exemplo :
Como a derivada passa de positiva para negativa, há um ponto de máximo em .

Passo 27

A sétima função é:
f(x) = cos(3x)
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 28

Calculamos a derivada de f'(x) = -3 sin(3x) :

Passo 29

Igualamos a derivada a zero:
-3 sin(3x) = 0
sin(3x) = 0
Isso ocorre quando x = npi3 , onde é um inteiro.

Passo 30

Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = -9 cos(3x)
  • Se f''(npi3) = -9 cos(npi) = -9(-1)^n , temos máximo.
  • Se , temos mínimo.
Para :
  • Se par: => máximo.
  • Se ímpar: => mínimo.

Passo 31

A oitava função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 32

Calculamos a derivada de f'(x) = 2 cos(2x - pi4) :

Passo 33

Igualamos a derivada a zero:
2 cos(2x - pi4) = 0
cos(2x - pi4) = 0
Isso ocorre quando:
2x - pi4 = pi2 + npi
2x = 3pi4 + npi
x = 3pi8 + npi2

Passo 34

Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = -4 sin(2x - pi4)
  • Se , temos máximo.
  • Se , temos mínimo.
Para :
  • Máximos e mínimos alternam conforme o valor de .

Passo 35

A nona função é:
f(x) = x cdot ln(x)
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 36

Aplicamos a regra do produto para derivar f'(x) = ln(x) + x cdot 1x :
f'(x) = ln(x) + 1

Passo 37

Igualamos a derivada a zero:
ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1
x = e^-1 = 1e

Passo 38

Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = 1x
Para f''(1e) = e > 0 :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 39

A décima função é:
f(x) = ln(x^2 + 1)
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 40

Calculamos a derivada de f'(x) = 2xx^2 + 1 :

Passo 41

Igualamos a derivada a zero:
2xx^2 + 1 = 0
2x = 0
x = 0

Passo 42

Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = 2(x^2 + 1) - 4x^2(x^2 + 1)^2
f''(x) = 2 - 2x^2(x^2 + 1)^2
Para f''(0) = 21 = 2 > 0 :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 43

A décima primeira função é:
f(x) = e^x^3 - 3x
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 44

Calculamos a derivada de f'(x) = 3x^2 e^x^3 - 3 :

Passo 45

Igualamos a derivada a zero:
3x^2 e^x^3 - 3 = 0
3x^2 e^x^3 = 3
x^2 e^x^3 = 1
Esta equação não possui solução analítica simples; precisamos usar métodos numéricos ou gráfico para encontrar os valores de .

Resposta

A função possui extremantes nos valores de que satisfazem , os quais devem ser encontrados por métodos numéricos.

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