Determine os extremantes de cada função a seguir:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os extremantes de várias funções. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas para encontrar máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de cada função, igualá-la a zero e resolver para encontrar os pontos críticos onde podem existir extremas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, calculamos a derivada de .

Passo 3

A derivada de em relação a é:

Passo 4

Para encontrar os extremantes, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, verificamos se esse ponto é um máximo ou mínimo. Calculamos a segunda derivada:
Como , o ponto é um ponto de máximo.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função:
Novamente, vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 7

Calculamos a derivada de :

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 9

Calculamos a segunda derivada para determinar a natureza do ponto crítico:
Como , o ponto é um ponto de mínimo.

Passo 10

Vamos para a terceira função:
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 11

Calculamos a derivada de :

Passo 12

Igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 13

Calculamos a segunda derivada:
Para :
=> ponto de mínimo.
Para :
=> ponto de máximo.

Passo 14

Continuando, a quarta função é:
Vamos calcular a derivada para encontrar os extremantes.

Passo 15

Calculamos a derivada de :

Passo 16

Igualamos a derivada a zero:
Dividindo por -3:
Resolvendo a equação de segundo grau:

Passo 17

Calculamos a segunda derivada:
Para :
Quando a segunda derivada é zero, precisamos usar o teste da primeira derivada ou analisar o comportamento da função.

Passo 18

Analisando a primeira derivada próxima a :
  • Para : escolha ,
  • Para : escolha ,
Como a derivada não muda de sinal, não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão.

Passo 19

A quinta função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 20

Primeiro, aplicamos a regra do produto para derivar :
Fatorando :

Passo 21

Igualamos a derivada a zero:
As soluções são:
(com multiplicidade 2)
(com multiplicidade 3)

Passo 22

Analisamos a natureza dos pontos:
  • Em , multiplicidade par => ponto de mínimo ou máximo.
  • Em , multiplicidade ímpar => ponto de inflexão.
  • Em , multiplicidade simples => mudança de sinal, extremas.

Passo 23

A sexta função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 24

Primeiro, escrevemos como e aplicamos a regra da cadeia:

Passo 25

Igualamos a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:

Passo 26

Verificamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada para determinar a natureza do ponto. Calculando a segunda derivada:
Isso envolve cálculo mais complexo, então optamos por analisar o comportamento da primeira derivada:
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
Como a derivada passa de positiva para negativa, há um ponto de máximo em .

Passo 27

A sétima função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 28

Calculamos a derivada de :

Passo 29

Igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando , onde é um inteiro.

Passo 30

Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
  • Se , temos máximo.
  • Se , temos mínimo.
Para :
  • Se par: => máximo.
  • Se ímpar: => mínimo.

Passo 31

A oitava função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 32

Calculamos a derivada de :

Passo 33

Igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando:

Passo 34

Determinar se são máximos ou mínimos:
Calculamos a segunda derivada:
  • Se , temos máximo.
  • Se , temos mínimo.
Para :
  • Máximos e mínimos alternam conforme o valor de .

Passo 35

A nona função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 36

Aplicamos a regra do produto para derivar :

Passo 37

Igualamos a derivada a zero:

Passo 38

Calculamos a segunda derivada:
Para :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 39

A décima função é:
Vamos encontrar os extremantes calculando a derivada.

Passo 40

Calculamos a derivada de :

Passo 41

Igualamos a derivada a zero:

Passo 42

Calculamos a segunda derivada:
Para :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 43

A décima primeira função é:
Vamos determinar os extremantes calculando a derivada.

Passo 44

Calculamos a derivada de :

Passo 45

Igualamos a derivada a zero:
Esta equação não possui solução analítica simples; precisamos usar métodos numéricos ou gráfico para encontrar os valores de .

Resposta

A função possui extremantes nos valores de que satisfazem , os quais devem ser encontrados por métodos numéricos.

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