Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?
74.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os gráficos de três funções numa mesma tela e depois ver como elas se relacionam. As funções são:
  1. no intervalo
  2. (a função arco-tangente)
Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta para conseguir desenhar os gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre . A tangente é uma função trigonométrica que relaciona o ângulo com a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. No intervalo dado , o gráfico da tangente tem uma forma que sobe de a passando pela origem (0,0). É importante notar que a tangente tem assíntotas verticais em , mas nesse intervalo específico a gente não precisa desenhar essas assíntotas.

Passo 3

Agora, vamos para . Essa é a função inversa da tangente, também conhecida como arco-tangente. Ela pega o valor da tangente e retorna o ângulo correspondente. O gráfico da arco-tangente é uma curva que passa pela origem e se aproxima de quando vai para e de quando vai para . É uma função crescente e está sempre entre e .

Passo 4

Por último, temos a função . Essa é uma função linear simples que passa pela origem e tem uma inclinação de 45 graus. É uma linha reta que sobe continuamente sem nenhuma curvatura.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo! Ao plotar essas três funções no mesmo gráfico:
  • A tangente ( ) vai mostrar uma curva que passa pela origem e sobe rapidamente à medida que se aproxima de .
  • A arco-tangente ( ) vai ser uma curva suave que também passa pela origem, mas cresce mais lentamente e se aproxima de sem nunca alcançá-lo.
  • A linha reta ( ) vai atravessar os outros dois gráficos exatamente no ponto (0,0).

Resposta

Ao desenhar , e na mesma tela, observamos que todas as três funções passam pelo ponto de origem (0,0). A tangente e a arco-tangente são fun��ões inversas uma da outra, refletindo-se em relação à linha . Além disso, a linha reta serve como a simetria para essa relação de inversão entre as duas funções trigonométricas.

Exercícios relacionados

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
47.
Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
e) Determine
(Valor: 1,0 ponto)
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
Determine os extremantes de cada função a seguir: