Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?
74.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os gráficos de três funções numa mesma tela e depois ver como elas se relacionam. As funções são:
-
no intervalo -
(a função arco-tangente) -
Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta para conseguir desenhar os gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre
. A tangente é uma função trigonométrica que relaciona o ângulo
com a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. No intervalo dado
, o gráfico da tangente tem uma forma que sobe de
a
passando pela origem (0,0). É importante notar que a tangente tem assíntotas verticais em
, mas nesse intervalo específico a gente não precisa desenhar essas assíntotas.
Passo 3
Agora, vamos para
. Essa é a função inversa da tangente, também conhecida como arco-tangente. Ela pega o valor da tangente e retorna o ângulo correspondente. O gráfico da arco-tangente é uma curva que passa pela origem e se aproxima de
quando
vai para
e de
quando
vai para
. É uma função crescente e está sempre entre
e
.
Passo 4
Por último, temos a função
. Essa é uma função linear simples que passa pela origem e tem uma inclinação de 45 graus. É uma linha reta que sobe continuamente sem nenhuma curvatura.
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo! Ao plotar essas três funções no mesmo gráfico:
- A tangente (
) vai mostrar uma curva que passa pela origem e sobe rapidamente à medida que se aproxima de . - A arco-tangente (
) vai ser uma curva suave que também passa pela origem, mas cresce mais lentamente e se aproxima de sem nunca alcançá-lo. - A linha reta (
) vai atravessar os outros dois gráficos exatamente no ponto (0,0).
Resposta
Ao desenhar
,
e
na mesma tela, observamos que todas as três funções passam pelo ponto de origem (0,0). A tangente e a arco-tangente são fun��ões inversas uma da outra, refletindo-se em relação à linha
. Além disso, a linha reta
serve como a simetria para essa relação de inversão entre as duas funções trigonométricas.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
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Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
e) Determine
(Valor: 1,0 ponto)
e) Determine
(Valor: 1,0 ponto)
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(a)
Determine os extremantes de cada função
a seguir: