Determine os extremantes de em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os extremantes da função dentro do conjunto . Em outras palavras, queremos descobrir onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse retângulo definido por entre 0 e 2, e entre -2 e 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente:
  1. Encontrar os pontos críticos da função dentro da região .
  2. Analisar os limites da região para verificar se os extremos estão nas bordas.
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
As derivadas parciais são:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Mas lembra que está entre 0 e 2, então não está na região . Portanto, os pontos críticos dentro de são:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos para ver quais valores ela assume:
Para :
Para :
Então, até agora, temos que e .

Passo 4

Mas não para por aí! Também precisamos verificar os limites da região , ou seja, as bordas onde , , e .
Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
Queremos maximizar e minimizar para entre -2 e 2.
Encontramos os extremos tomando a derivada em relação a :
Então, e .
Também avaliamos nas extremidades e :
  1. Quando :
Derivando em relação a :
Então, e .
Também nas extremidades e :
  1. Quando :
Derivando em relação a :
Dentro de , temos :
Também nas extremidades e :
á
á
  1. Quando :
Derivando em relação a :
Dentro de , temos :
Também nas extremidades e :
á
á

Passo 5

Agora, vamos compilar todos os valores que encontramos:
  • Pontos críticos internos:
  • Limites:
Agora, identificamos o máximo e o mínimo:
  • Máximo global: em e .
  • Mínimo global: em e .

Resposta

Os extremantes da função no conjunto são:
  • Máximos globais: nos pontos e .
  • Mínimos globais: nos pontos e .

Exercícios relacionados

Sejam , dada por e .
(a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.
Mostre que a função , dada por , se , e , não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico .
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.