Determine os extremantes de
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os extremantes da função
dentro do conjunto
. Em outras palavras, queremos descobrir onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse retângulo definido por
entre 0 e 2, e
entre -2 e 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente:
- Encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. - Analisar os limites da região
para verificar se os extremos estão nas bordas.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
As derivadas parciais são:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Mas lembra que
está entre 0 e 2, então
não está na região
. Portanto, os pontos críticos dentro de
são:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos para ver quais valores ela assume:
Para
:
Para
:
Então, até agora, temos que
e
.
Passo 4
Mas não para por aí! Também precisamos verificar os limites da região
, ou seja, as bordas onde
,
,
e
.
Vamos analisar cada caso:
- Quando
:
Queremos maximizar e minimizar
para
entre -2 e 2.
Encontramos os extremos tomando a derivada em relação a
:
Então,
e
.
Também avaliamos nas extremidades
e
:
- Quando
:
Derivando em relação a
:
Então,
e
.
Também nas extremidades
e
:
- Quando
:
Derivando em relação a
:
Dentro de
, temos
:
Também nas extremidades
e
:
- Quando
:
Derivando em relação a
:
Dentro de
, temos
:
Também nas extremidades
e
:
Passo 5
Agora, vamos compilar todos os valores que encontramos:
-
Pontos críticos internos:
-
-
Limites:
-
Agora, identificamos o máximo e o mínimo:
- Máximo global:
em e . - Mínimo global:
em e .
Resposta
Os extremantes da função
no conjunto
são:
- Máximos globais:
nos pontos e . - Mínimos globais:
nos pontos e .
Exercícios relacionados
Sejam
, dada por
e
.
(a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.
(a) Encontre os pontos críticos de
Mostre que a função
, dada por
, se
, e
, não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico
.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
(d)
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.