Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d)
.
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los.
Pontos críticos são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para encontrá-los, precisamos calcular essas derivadas parciais e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos classificar cada ponto crítico para saber se são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Aplicamos a regra do produto:
Derivada parcial em relação a
:
Aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde
e
.
Então, temos:
Como
nunca é zero, podemos simplificar:
Passo 4
Vamos resolver o primeiro equacionamento:
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, resolvemos o segundo equacionamento:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Vamos analisar as possibilidades:
-
Quando
: -
Do segundo equacionamento, temos:Então,
ou , ou seja, ou . -
Portanto, os pontos são
, e .
-
-
Quando
: -
Do primeiro equacionamento, temos:Então,
ou , ou seja, ou . -
Portanto, os pontos são
, e .
-
Passo 6
Verificamos que o ponto
foi encontrado em ambas as situações, portanto, os pontos críticos são:
Passo 7
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante de Hessiano.
Calculamos as segundas derivadas:
Depois, calculamos o determinante de Hessiano:
- Se
e : Mínimo local - Se
e : Máximo local - Se
: Ponto de sela - Se
: Teste inconclusivo
Passo 8
Após realizar os cálculos das segundas derivadas e do Hessiano, podemos concluir a classificação dos pontos críticos:
-
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela
Resposta
Os pontos críticos da função são
,
,
,
e
, todos classificados como pontos de sela.
Exercícios relacionados
Determine os extremantes de
em
Sejam
, dada por
e
.
(a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.
(a) Encontre os pontos críticos de
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto