Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los.
Pontos críticos são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para encontrá-los, precisamos calcular essas derivadas parciais e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos classificar cada ponto crítico para saber se são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Aplicamos a regra do produto:
Derivada parcial em relação a :
Aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde e .
Então, temos:
Como nunca é zero, podemos simplificar:

Passo 4

Vamos resolver o primeiro equacionamento:
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, resolvemos o segundo equacionamento:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Quando :
    • Do segundo equacionamento, temos:
      Então, ou , ou seja, ou .
    • Portanto, os pontos são , e .
  2. Quando :
    • Do primeiro equacionamento, temos:
      Então, ou , ou seja, ou .
    • Portanto, os pontos são , e .

Passo 6

Verificamos que o ponto foi encontrado em ambas as situações, portanto, os pontos críticos são:

Passo 7

Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante de Hessiano.
Calculamos as segundas derivadas:
Depois, calculamos o determinante de Hessiano:
  • Se e : Mínimo local
  • Se e : Máximo local
  • Se : Ponto de sela
  • Se : Teste inconclusivo

Passo 8

Após realizar os cálculos das segundas derivadas e do Hessiano, podemos concluir a classificação dos pontos críticos:
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela

Resposta

Os pontos críticos da função são , , , e , todos classificados como pontos de sela.

Exercícios relacionados

Determine os extremantes de em
Sejam , dada por e .
(a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em seguida, faça o mesmo para o ponto ).