Determine os extremantes locais da função
na circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de extremos locais da função
dentro da circunferência definida por
. Para isso, vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que adiciona uma variável adicional (o multiplicador) para incorporar a restrição na função que queremos otimizar. No nosso caso, a função a ser otimizada é
e a restrição é
.
Passo 3
A regra dos multiplicadores de Lagrange diz que, nos pontos de extremo, o gradiente da função
é proporcional ao gradiente da função de restrição
. Isso dá as seguintes equações:
Onde
é o multiplicador de Lagrange. Vamos calcular os gradientes:
Passo 4
Igualando os gradientes:
E temos também a restrição:
Passo 5
Vamos analisar a equação (1):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Agora, olhando para a equação (2):
Substituindo
:
Com
, pela restrição (3):
Então, temos dois pontos candidatos:
e
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso onde
. Se
, a equação (1) é automaticamente satisfeita para qualquer
. Vamos usar a equação (2):
Se
, podemos dividir por
:
Com
e
, pela restrição (3):
Então, mais dois pontos candidatos:
e
.
Passo 7
Agora, vamos verificar os valores da função
nesses pontos:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
Os extremantes locais da função
na circunferência
são:
- Mínimos locais em
e com valor - Máximos locais em
e com valor
Exercícios relacionados
Suponha que
para todo
. Se
é uma função par, mostre que
.
- Henri Poincaré
Calcule
Seja
e
. Escreva a composição
como uma função de
e derive. Verifique se o resultado coincide com a parte (b).