Determine os extremantes locais da função na circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de extremos locais da função dentro da circunferência definida por . Para isso, vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que adiciona uma variável adicional (o multiplicador) para incorporar a restrição na função que queremos otimizar. No nosso caso, a função a ser otimizada é e a restrição é .

Passo 3

A regra dos multiplicadores de Lagrange diz que, nos pontos de extremo, o gradiente da função é proporcional ao gradiente da função de restrição . Isso dá as seguintes equações:
Onde é o multiplicador de Lagrange. Vamos calcular os gradientes:

Passo 4

Igualando os gradientes:
E temos também a restrição:

Passo 5

Vamos analisar a equação (1):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Agora, olhando para a equação (2):
Substituindo :
Com , pela restrição (3):
Então, temos dois pontos candidatos: e .

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso onde . Se , a equação (1) é automaticamente satisfeita para qualquer . Vamos usar a equação (2):
Se , podemos dividir por :
Com e , pela restrição (3):
Então, mais dois pontos candidatos: e .

Passo 7

Agora, vamos verificar os valores da função nesses pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os extremantes locais da função na circunferência são:
  • Mínimos locais em e com valor
  • Máximos locais em e com valor

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