Seja
e
. Escreva a composição
como uma função de
e derive. Verifique se o resultado coincide com a parte (b).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e uma trajetória
. Nosso objetivo é compor essas funções, ou seja, encontrar
em termos de
e depois derivar essa composição. Para isso, vamos precisar usar a substituição de variáveis e a regra da cadeia para derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a composição
. Isso significa substituir
e
na função
pelas componentes de
:
Então, a composição é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos que a função está na forma
, onde
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, precisamos encontrar
, onde
.
Passo 4
Para encontrar
, expandimos
:
Agora, derivamos termo a termo:
Passo 5
Voltando à derivada original, temos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: