Seja f(x, y) = e^(x y) e r(t) = (t^2, 1 + t). Escreva a composição f(r(t)) como uma função de t e derive. Verifique se o resultado coincide com a parte (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e uma trajetória . Nosso objetivo é compor essas funções, ou seja, encontrar em termos de e depois derivar essa composição. Para isso, vamos precisar usar a substituição de variáveis e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a composição . Isso significa substituir e na função pelas componentes de :
Então, a composição é .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos que a função está na forma , onde .
A derivada de em relação a é:
Agora, precisamos encontrar , onde .

Passo 4

Para encontrar , expandimos :
Agora, derivamos termo a termo:

Passo 5

Voltando à derivada original, temos:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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