Estamos tentando encontrar o raio de convergência da série . O raio de convergência nos diz para quais valores de a série converge, ou seja, para quais a soma infinita da série resulta em um número finito.
Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de séries de potências. Precisaremos entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Entendendo o Teste da Razão:
O Teste da Razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. Para uma série , calculamos:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No caso de séries de potências, podemos encontrar o raio de convergência usando:
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão à Série Dada:
Nossa série é:
an = 2n!(n!)^2 x^n
Vamos calcular a razão an+1an = 2(n+1)!((n+1)!)^2 x^n+12n!(n!)^2 x^n = 2(n+1)!((n+1)!)^2 cdot (n!)^22n! cdot x :
an+1an = (n!)^2(n+1)! cdot (n+1)! cdot x = n!(n+1)! cdot x = 1n+1 cdot x
Simplificando os termos:
Passo 4
Calculando o Limite L = limn to infty | 1n+1 cdot x | = limn to infty |x|n+1 = 0 :
Agora, vamos calcular o limite da razão:
Como para qualquer valor finito de , isso significa que .
Passo 5
Determinando o Raio de Convergência R = 10 = infty :
Usando a relação , temos:
Isso indica que a série converge para todos os valores reais de .
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, ou seja, .