Suponha que para todo . Se é uma função par, mostre que .
  • Henri Poincaré

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todo . A questão diz que essa função é par, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes das potências ímpares de , como etc., são iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções pares e das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função é par se, para todo , . Isso implica que os termos com potências ímpares de na série de devem se cancelar, já que e só serão iguais quando for par.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Escrevendo , temos:
Como é par, sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos igualar os dois lados da equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes das potências correspondentes de devem ser iguais. Ou seja:

Passo 5

Vamos analisar essa igualdade:
Podemos fatorar :
Isso implica que ou ou .

Passo 6

O termo acontece quando é par. Se é ímpar, , então:
Portanto, para ímpar, deve ser zero.

Passo 7

Assim, concluímos que todos os coeficientes com ímpar são iguais a zero. Ou seja:

Resposta

Os coeficientes das potências ímpares de na expansão de são iguais a zero, ou seja:

Exercícios relacionados

Calcule
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule (Ex. 6, pg. 271)
Determine os extremantes locais da função na circunferência .