Suponha que
para todo
. Se
é uma função par, mostre que
.
- Henri Poincaré
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida para todo
. A questão diz que essa função é par, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes das potências ímpares de
, como
etc., são iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções pares e das séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função
é par se, para todo
,
. Isso implica que os termos com potências ímpares de
na série de
devem se cancelar, já que
e
só serão iguais quando
for par.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Escrevendo
, temos:
Como
é par, sabemos que
. Então:
Passo 4
Agora, vamos igualar os dois lados da equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes das potências correspondentes de
devem ser iguais. Ou seja:
Passo 5
Vamos analisar essa igualdade:
Podemos fatorar
:
Isso implica que ou
ou
.
Passo 6
O termo
acontece quando
é par. Se
é ímpar,
, então:
Portanto, para
ímpar,
deve ser zero.
Passo 7
Assim, concluímos que todos os coeficientes
com
ímpar são iguais a zero. Ou seja:
Resposta
Os coeficientes das potências ímpares de
na expansão de
são iguais a zero, ou seja:
Exercícios relacionados
Calcule
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule (Ex. 6, pg. 271)
Determine os extremantes locais da função
na circunferência
.