Suponha que f(x)=sumn=1^infty cn x^n para todo x. Se f é uma função par, mostre que c1=c3=c5+c6=cdots=0.
  • Henri Poincaré

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todo . A questão diz que essa função é par, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes das potências ímpares de , como etc., são iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções pares e das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função é par se, para todo , . Isso implica que os termos com potências ímpares de na série de devem se cancelar, já que e só serão iguais quando for par.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Escrevendo f(-x) = sumn=1^infty cn (-x)^n = sumn=1^infty cn (-1)^n x^n , temos:
sumn=1^infty cn x^n = sumn=1^infty cn (-1)^n x^n
Como é par, sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos igualar os dois lados da equação:
sumn=1^infty cn x^n = sumn=1^infty cn (-1)^n x^n
Para que essa igualdade seja válida para todo cn = cn (-1)^n para todo n >= 1 , os coeficientes das potências correspondentes de devem ser iguais. Ou seja:

Passo 5

Vamos analisar essa igualdade:
cn = cn (-1)^n
Podemos fatorar cn (1 - (-1)^n) = 0 :
Isso implica que ou ou .

Passo 6

O termo cn (1 - (-1)^n) = cn (1 - (-1)) = cn cdot 2 = 0 implies cn = 0 acontece quando é par. Se é ímpar, , então:
Portanto, para ímpar, deve ser zero.

Passo 7

Assim, concluímos que todos os coeficientes c1 = c3 = c5 = c7 = cdots = 0 com ímpar são iguais a zero. Ou seja:

Resposta

Os coeficientes das potências ímpares de c1 = c3 = c5 = c7 = cdots = 0 na expansão de são iguais a zero, ou seja:

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