Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar os vetores tangente e normal unitários e para a função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com curvas no espaço e seus vetores tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor derivada , que nos dá a direção da tangente à curva em cada ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de , que é necessário para normalizar o vetor tangente.
Simplificando, usamos a identidade trigonométrica :

Passo 4

Com o módulo encontrado, podemos determinar o vetor tangente unitário dividindo pelo seu módulo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor derivada de , que nos ajudará a determinar o vetor normal .

Passo 6

Vamos calcular agora o módulo de :

Passo 7

Como o módulo de é 1, o vetor normal unitário é simplesmente :

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados:
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Determine e :
(23.3)