Seja e . Encontre uma base de . Pode-se estender esta base para uma base de ? Por quê? Em caso afirmativo encontre a base de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subconjunto formado por três vetores: , e . O objetivo é:
Encontrar uma base para .
Verificar se podemos estender essa base para formar uma base de e, se sim, encontrar essa base estendida.
Vamos precisar usar conceitos de independência linear e bases em espaços vetoriais.
Passo 2
Encontrando uma base para :
Para determinar uma base de , precisamos verificar se os vetores que compõem são lineticamente independentes. Se forem, eles próprios já formam uma base. Se não, precisamos remover os vetores que são combinações lineares dos outros.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos realizar a eliminação de Gauss para trazer a matriz para a forma escalonada e identificar se há vetores dependentes.
Passo 3
Aplicando a eliminação de Gauss:
Primeira coluna:
O primeiro pivô é 1 (na posição ).
Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô.
Zerando abaixo do pivô de 1:
→
(já está zero)
→
A matriz fica:
Segunda coluna:
O próximo pivô é 2 (na posição ).
Vamos zerar abaixo desse pivô.
Zerando abaixo do pivô de 2:
→
A matriz fica:
Passo 4
Analisando a matriz escalonada:
Após a eliminação, vemos que há 2 pivôs (nas posições e ). Isso significa que o posto da matriz é 2, ou seja, apenas 2 vetores são linearmente independentes.
Portanto, os 3 vetores iniciais não são todos independentes. Precisamos escolher 2 vetores independentes para formar uma base de .
Podemos escolher os primeiros dois vetores:
Passo 5
Confirmando a independência dos vetores escolhidos:
Para garantir que e são realmente independentes, verificamos se existe uma combinação linear que as iguala a zero:
Isso resulta no sistema:
A única solução é e , confirmando que os vetores são lineticamente independentes.
Passo 6
Conclusão sobre a base de :
Portanto, uma base de é:
Passo 7
Estendendo a base para :
Agora, queremos saber se podemos estender essa base para formar uma base completa de , que requer 4 vetores.
Para isso, precisamos adicionar mais 2 vetores que sejam independentes dos vetores já escolhidos.
Escolheremos, por exemplo, os vetores canônicos e .
Passo 8
Verificando a independência com os novos vetores:
Vamos verificar se os vetores e são independentes em relação aos da base de .
Confirma-se rapidamente que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos vetores de , portanto, eles são independentes.
Passo 9
Formando a base de :
Assim, a base completa de fica:
Resposta
Uma base de é . Podemos estender essa base para uma base de adicionando os vetores e . Portanto, uma base de é .