Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada
tem ângulo constante com a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a reta tangente à curva parametrizada
forma um ângulo constante com a reta definida por
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de curvas e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva
. Para isso, vamos calcular a derivada da função
em relação a
, que nos dá o vetor tangente.
Então, o vetor tangente é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta dada por
e
. Essa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:
O vetor diretor dessa reta é
.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 7
Substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Vamos simplificar a expressão no denominador:
Perceba que
é igual a
, então:
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do cosseno:
Observamos que
, então:
Portanto:
Resposta
O ângulo
entre a reta tangente à curva e a reta
é constante e igual a
, já que
.