Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada alpha(t)=(3 t, 3 t^2, 2 t^3) tem ângulo constante com a reta y=0, z=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a reta tangente à curva parametrizada forma um ângulo constante com a reta definida por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de curvas e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva alpha'(t) = ( ddt(3t), ddt(3t^2), ddt(2t^3) ) = (3, 6t, 6t^2) . Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a , que nos dá o vetor tangente.
Então, o vetor tangente é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta dada por beta(s) = (s, 0, s) e . Essa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:
O vetor diretor dessa reta é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = 3 cdot 1 + 6t cdot 0 + 6t^2 cdot 1 = 3 + 0 + 6t^2 = 3 + 6t^2 :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|u| = raiz3^2 + (6t)^2 + (6t^2)^2 = raiz9 + 36t^2 + 36t^4
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 7

Substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 3 + 6t^2raiz9 + 36t^2 + 36t^4 cdot raiz2
Vamos simplificar a expressão no denominador:
raiz9 + 36t^2 + 36t^4 = raiz9(1 + 4t^2 + 4t^4) = 3raiz1 + 4t^2 + 4t^4
Perceba que raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = 2t^2 + 1 é igual a raiz9 + 36t^2 + 36t^4 = 3(2t^2 + 1) , então:
Portanto:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do cosseno:
cos theta = 3 + 6t^23(2t^2 + 1) cdot 1raiz2 = 1 + 2t^22t^2 + 1 cdot 1raiz2
Observamos que 1 + 2t^22t^2 + 1 = 1 , então:
cos theta = 1raiz2
Portanto:

Resposta

O ângulo entre a reta tangente à curva e a reta é constante e igual a , já que .

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