Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada tem ângulo constante com a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a reta tangente à curva parametrizada forma um ângulo constante com a reta definida por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de curvas e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva . Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a , que nos dá o vetor tangente.
Então, o vetor tangente é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta dada por e . Essa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:
O vetor diretor dessa reta é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 7

Substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Vamos simplificar a expressão no denominador:
Perceba que é igual a , então:
Portanto:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do cosseno:
Observamos que , então:
Portanto:

Resposta

O ângulo entre a reta tangente à curva e a reta é constante e igual a , já que .

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