Encontre o comprimento da(s) corda(s) focal(is) à cônica H: (x-1)^22-y^2=1, que é(são) paralela(s) à reta x+y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica definida pela equação H: (x-1)^22 - y^2 = 1, que é uma hipérbole. A pergunta quer que encontremos o comprimento da(s) corda(s) focal(is) dessa hipérbole que são paralelas à reta x + y = 0.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da hipérbole, a definição de corda focal e como verificar a paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos principais da hipérbole dada. A equação é (x-1)^22 - y^2 = 1. Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que pode ser escrita como:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
  • Centro (h, k) = (1, 0)
  • a^2 = 2 Rightarrow a = raiz2
  • b^2 = 1 Rightarrow b = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, a distância dos focos ao centro é dada por c = raiza^2 + b^2.
Calculando c:
c = raiz2 + 1 = raiz3
Portanto, os focos estão localizados em (h pm c, k), ou seja:
F1 = (1 - raiz3, 0) e F2 = (1 + raiz3, 0)

Passo 4

Uma corda focal é uma linha que conecta dois pontos da hipérbole e passa por um dos focos. Queremos encontrar as cordas focais que são paralelas à reta x + y = 0.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta x + y = 0. Reescrevendo na forma y = -x, vemos que a inclinação m é -1.
Portanto, queremos cordas da hipérbole com inclinação m = -1.

Passo 5

Para encontrar as equações das cordas com inclinação m = -1, usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação e a substituímos na equação da hipérbole.
Vamos assumir que a corda passa por um ponto geral (x, y) na hipérbole e tem inclinação -1. Então, a equação da reta é:
y - y1 = -1 (x - x1)
Onde (x1, y1) é um ponto na hipérbole.
Substituindo na equação da hipérbole:
(x - 1)^22 - y^2 = 1
Vamos substituir y da equação da reta na equação da hipérbole e resolver para x.

Passo 6

Substituindo y = -x + c na equação da hipérbole:
(x - 1)^22 - (-x + c)^2 = 1
Expandindo:
(x^2 - 2x + 1)2 - (x^2 - 2c x + c^2) = 1
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
(x^2 - 2x + 1) - 2(x^2 - 2c x + c^2) = 2
Simplificando:
x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 4c x - 2c^2 = 2
Rearranjando os termos:
- x^2 + (4c - 2)x + (1 - 2c^2 - 2) = 0
Simplificando mais:
- x^2 + (4c - 2)x - (2c^2 + 1) = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
x^2 - (4c - 2)x + (2c^2 + 1) = 0

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em x. Para que haja pontos de interseção reais (ou seja, a corda realmente cruza a hipérbole), o discriminante dessa equação deve ser maior ou igual a zero.
O discriminante De é dado por:
De
Aqui, a = 1, b = -(4c - 2) e c = 2c^2 + 1.
Calculando De:
De
Expandindo:
De
Para que a corda passe pelo foco, a reta deve satisfazer a condição de passar pelo foco. Vamos usar o foco F1 = (1 - raiz3, 0).

Passo 8

A reta da corda deve passar pelo foco F1 = (1 - raiz3, 0). Substituindo esses valores na equação da reta y = -x + c:
0 = - (1 - raiz3) + c Rightarrow c = 1 - raiz3
Agora, substituímos c = 1 - raiz3 no discriminante:
De
Calculando (1 - raiz3)^2:
(1 - raiz3)^2 = 1 - 2raiz3 + 3 = 4 - 2raiz3
Substituindo de volta:
De
Como De 0, há dois pontos de interseção, o que confirma que a corda existe.

Passo 9

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo c = 1 - raiz3 na equação quadrática:
x^2 - (4(1 - raiz3) - 2)x + (2(1 - raiz3)^2 + 1) = 0
Simplificando:
x^2 - (4 - 4raiz3 - 2)x + (2(4 - 2raiz3) + 1) = 0
x^2 - (2 - 4raiz3)x + (8 - 4raiz3 + 1) = 0
x^2 - (2 - 4raiz3)x + (9 - 4raiz3) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 - 4raiz3 pm raiz(2 - 4raiz3)^2 - 4 cdot 1 cdot (9 - 4raiz3)2
Calculando o discriminante interno:
(2 - 4raiz3)^2 - 4(9 - 4raiz3) = 4 - 16raiz3 + 48 - 36 + 16raiz3 = 16
Então:
x = 2 - 4raiz3 pm 42
Isso dá duas soluções:
  1. x = 2 - 4raiz3 + 42 = 6 - 4raiz32 = 3 - 2raiz3
  2. x = 2 - 4raiz3 - 42 = -2 - 4raiz32 = -1 - 2raiz3
Agora, encontramos os valores de x para os dois pontos de interseção. Podemos encontrar os valores correspondentes de y usando a equação da reta y = -x + 1 - raiz3.
Para x = 3 - 2raiz3:
y = -(3 - 2raiz3) + 1 - raiz3 = -3 + 2raiz3 + 1 - raiz3 = -2 + raiz3
Para x = -1 - 2raiz3:
y = -(-1 - 2raiz3) + 1 - raiz3 = 1 + 2raiz3 + 1 - raiz3 = 2 + raiz3
Portanto, os pontos de interseção são (3 - 2raiz3, -2 + raiz3) e (-1 - 2raiz3, 2 + raiz3).

Passo 10

Agora, vamos calcular o comprimento da corda entre esses dois pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz[(-1 - 2raiz3) - (3 - 2raiz3)]^2 + [(2 + raiz3) - (-2 + raiz3)]^2
Simplificando:
d = raiz(-1 - 2raiz3 - 3 + 2raiz3)^2 + (2 + raiz3 + 2 - raiz3)^2 = raiz(-4)^2 + (4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32
Simplificando raiz32:
raiz32 = 4raiz2

Resposta

O comprimento da corda focal paralela à reta x + y = 0 é 4raiz2 unidades.

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