Encontre o comprimento da(s) corda(s) focal(is) à cônica
, que é(são) paralela(s) à reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica definida pela equação
, que é uma hipérbole. A pergunta quer que encontremos o comprimento da(s) corda(s) focal(is) dessa hipérbole que são paralelas à reta
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da hipérbole, a definição de corda focal e como verificar a paralelismo entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos principais da hipérbole dada. A equação é
. Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que pode ser escrita como:
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
- Centro
-
-
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, a distância dos focos ao centro é dada por
.
Calculando
:
Portanto, os focos estão localizados em
, ou seja:
Passo 4
Uma corda focal é uma linha que conecta dois pontos da hipérbole e passa por um dos focos. Queremos encontrar as cordas focais que são paralelas à reta
.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Reescrevendo na forma
, vemos que a inclinação
é
.
Portanto, queremos cordas da hipérbole com inclinação
.
Passo 5
Para encontrar as equações das cordas com inclinação
, usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação e a substituímos na equação da hipérbole.
Vamos assumir que a corda passa por um ponto geral
na hipérbole e tem inclinação
. Então, a equação da reta é:
Onde
é um ponto na hipérbole.
Substituindo na equação da hipérbole:
Vamos substituir
da equação da reta na equação da hipérbole e resolver para
.
Passo 6
Substituindo
na equação da hipérbole:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Simplificando mais:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática em
. Para que haja pontos de interseção reais (ou seja, a corda realmente cruza a hipérbole), o discriminante dessa equação deve ser maior ou igual a zero.
O discriminante
é dado por:
Aqui,
,
e
.
Calculando
:
Expandindo:
Para que a corda passe pelo foco, a reta deve satisfazer a condição de passar pelo foco. Vamos usar o foco
.
Passo 8
A reta da corda deve passar pelo foco
. Substituindo esses valores na equação da reta
:
Agora, substituímos
no discriminante:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Como
, há dois pontos de interseção, o que confirma que a corda existe.
Passo 9
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo
na equação quadrática:
Simplificando:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante interno:
Então:
Isso dá duas soluções:
Agora, encontramos os valores de
para os dois pontos de interseção. Podemos encontrar os valores correspondentes de
usando a equação da reta
.
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 10
Agora, vamos calcular o comprimento da corda entre esses dois pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Simplificando
:
Resposta
O comprimento da corda focal paralela à reta
é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine os extremos das duas cordas focais da hipérbole
, que são paralelas à reta
. Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de
estão alinhados.
Da hipérbole
, determine seus focos, suas retas assíntotas e as retas tagentes aos seus vértices.
Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada
tem ângulo constante com a reta
.
Um segmento
de medida 12, desloca-se de modo que
percorre o eixo das abscissas e
o das ordenadas. O ponto
é interior ao segmento
e fica situado a 8 de
. Estabeleça equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
.