Encontre o comprimento da(s) corda(s) focal(is) à cônica , que é(são) paralela(s) à reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica definida pela equação , que é uma hipérbole. A pergunta quer que encontremos o comprimento da(s) corda(s) focal(is) dessa hipérbole que são paralelas à reta .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da hipérbole, a definição de corda focal e como verificar a paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos principais da hipérbole dada. A equação é . Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que pode ser escrita como:
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
  • Centro

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, a distância dos focos ao centro é dada por .
Calculando :
Portanto, os focos estão localizados em , ou seja:

Passo 4

Uma corda focal é uma linha que conecta dois pontos da hipérbole e passa por um dos focos. Queremos encontrar as cordas focais que são paralelas à reta .
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Reescrevendo na forma , vemos que a inclinação é .
Portanto, queremos cordas da hipérbole com inclinação .

Passo 5

Para encontrar as equações das cordas com inclinação , usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação e a substituímos na equação da hipérbole.
Vamos assumir que a corda passa por um ponto geral na hipérbole e tem inclinação . Então, a equação da reta é:
Onde é um ponto na hipérbole.
Substituindo na equação da hipérbole:
Vamos substituir da equação da reta na equação da hipérbole e resolver para .

Passo 6

Substituindo na equação da hipérbole:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Simplificando mais:
Multiplicando por para simplificar:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em . Para que haja pontos de interseção reais (ou seja, a corda realmente cruza a hipérbole), o discriminante dessa equação deve ser maior ou igual a zero.
O discriminante é dado por:
Aqui, , e .
Calculando :
Expandindo:
Para que a corda passe pelo foco, a reta deve satisfazer a condição de passar pelo foco. Vamos usar o foco .

Passo 8

A reta da corda deve passar pelo foco . Substituindo esses valores na equação da reta :
Agora, substituímos no discriminante:
Calculando :
Substituindo de volta:
Como , há dois pontos de interseção, o que confirma que a corda existe.

Passo 9

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo na equação quadrática:
Simplificando:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante interno:
Então:
Isso dá duas soluções:
Agora, encontramos os valores de para os dois pontos de interseção. Podemos encontrar os valores correspondentes de usando a equação da reta .
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 10

Agora, vamos calcular o comprimento da corda entre esses dois pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Simplificando :

Resposta

O comprimento da corda focal paralela à reta é unidades.

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