Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar os extremos locais dela, se existirem, e classificar esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 5

No ponto crítico , avaliamos essas segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante Hessiano (D):

Passo 6

Quando o determinante Hessiano , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para entender o comportamento no ponto crítico.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função ao redor do ponto :
  • Se fixarmos , a função fica .
    • Para , .
    • Para , .
  • Se fixarmos , a função fica .
    • Para , .
    • Para , .

Passo 8

Observando isso, vemos que os sinais da função mudam dependendo da direção que a gente se aproxima de . Isso caracteriza um ponto de sela, que não é nem um mínimo nem um máximo local.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em , que é um ponto de sela. Portanto, a função não possui extremos locais.

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Seja derivável até a ordem. Verifique que
Derive.
Seja a função real . , sendo uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real de modo que a função complexa definida por seja analítica no mesmo domínio que é harmônica, e que . Considere que .
, onde
(f) e é a semicircunferência .