Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar os extremos locais dela, se existirem, e classificar esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 5
No ponto crítico
, avaliamos essas segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante Hessiano (D):
Passo 6
Quando o determinante Hessiano
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para entender o comportamento no ponto crítico.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função ao redor do ponto
:
-
Se fixarmos
, a função fica . - Para
, . - Para
, .
- Para
-
Se fixarmos
, a função fica . - Para
, . - Para
, .
- Para
Passo 8
Observando isso, vemos que os sinais da função mudam dependendo da direção que a gente se aproxima de
. Isso caracteriza um ponto de sela, que não é nem um mínimo nem um máximo local.
Resposta
A função
tem um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela. Portanto, a função não possui extremos locais.
Exercícios relacionados
Seja
derivável até a
ordem. Verifique que
Derive.
Seja a função real
.
, sendo
uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real
de modo que a função complexa definida por
seja analítica no mesmo domínio que
é harmônica, e que
. Considere que
.
(f)