Seja
derivável até a
ordem. Verifique que
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável até a segunda ordem. A tarefa é verificar se a derivada de
em relação a
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão que precisamos derivar:
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro pelo segundo mais o primeiro pela derivada do segundo. Matematicamente, se temos
e
, então
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa expressão:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Isso é simplesmente a segunda derivada de
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Essa é exatamente a expressão que queríamos verificar.
Resposta
Conseguimos verificar que:
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Derive.
Derive.
Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:
Seja a função real
.
, sendo
uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real
de modo que a função complexa definida por
seja analítica no mesmo domínio que
é harmônica, e que
. Considere que
.