Seja derivável até a ordem. Verifique que

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável até a segunda ordem. A tarefa é verificar se a derivada de em relação a é igual a . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão que precisamos derivar: . Aqui, temos um produto de duas funções: e .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro pelo segundo mais o primeiro pela derivada do segundo. Matematicamente, se temos e , então .

Passo 4

Aplicando isso à nossa expressão:
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a :
Isso é simplesmente a segunda derivada de .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Essa é exatamente a expressão que queríamos verificar.

Resposta

Conseguimos verificar que:

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Derive.
Derive.
Determine os extremos locais das funções dadas a seguir, caso existam, e classifique-os:
Seja a função real . , sendo uma constante ajustável. Identifique se a função é harmônica em algum domínio. Em caso positivo, identifique uma função real de modo que a função complexa definida por seja analítica no mesmo domínio que é harmônica, e que . Considere que .