Determine os extremos relativos de f , se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os extremos relativos da função . Isso está dentro do assunto de Cálculo Multivariável, mais especificamente em otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos e depois analisar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função .
A derivada parcial em relação a ( ) é:
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
De maneira análoga, a derivada parcial em relação a ( ) é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar as derivadas parciais a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos simplificar as equações dividindo por 2:
Agora, somando as duas equações:
Isolando, temos:
Agora, podemos tentar expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar na equação (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Esse é um pouco trabalhoso, mas vamos resolver passo a passo:
Primeiro, calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos pelo denominador comum :
Expandindo e simplificando:
Após bastante simplificação (que deixamos de detalhar aqui para manter a clareza), encontramos os valores críticos:

Passo 4

Agora que temos o ponto crítico , vamos determinar se é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
Após computar essas derivadas no ponto , calculamos o discriminante:
Dependendo do valor de :
  • Se e , é um mínimo relativo.
  • Se e , é um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Após os cálculos, concluímos que:
Então, o ponto é um máximo relativo.

Resposta

A função possui um extremo relativo de máximo no ponto .

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