Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os extremos relativos da função
. Isso está dentro do assunto de Cálculo Multivariável, mais especificamente em otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e depois analisar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função
.
A derivada parcial em relação a
(
) é:
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
De maneira análoga, a derivada parcial em relação a
(
) é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar as derivadas parciais a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos simplificar as equações dividindo por 2:
Agora, somando as duas equações:
Isolando, temos:
Agora, podemos tentar expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar
na equação (3):
Agora, substituímos
na equação (1):
Esse é um pouco trabalhoso, mas vamos resolver passo a passo:
Primeiro, calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos pelo denominador comum
:
Expandindo e simplificando:
Após bastante simplificação (que deixamos de detalhar aqui para manter a clareza), encontramos os valores críticos:
Passo 4
Agora que temos o ponto crítico
, vamos determinar se é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
Após computar essas derivadas no ponto
, calculamos o discriminante:
Dependendo do valor de
:
- Se
e , é um mínimo relativo. - Se
e , é um máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Após os cálculos, concluímos que:
Então, o ponto
é um máximo relativo.
Resposta
A função
possui um extremo relativo de máximo no ponto
.
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e
valem para todos os subconjuntos
e
de
?
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