Será que as igualdades e valem para todos os subconjuntos e de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pergunta se as igualdades e são válidas para todos os subconjuntos e dos números reais . Para isso, vamos usar conceitos de funções, como imagem e pré-imagem, além de propriedades como injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o conjunto de todos os elementos que, quando a função é aplicada, pertencem a . Então, é a imagem desse conjunto através de .

Passo 3

Para que seja verdadeira para todo conjunto , a função precisa ser sobrejetiva. Isso significa que todo elemento de tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele através de . Se não for sobrejetiva, pode haver elementos em que não são atingidos por , fazendo com que a igualdade não se sustente.

Passo 4

Agora, vamos analisar . Aqui, é a imagem do conjunto através de , e é a pré-imagem desse conjunto. Para que essa igualdade seja válida para todo , a função precisa ser injetiva. Isso quer dizer que cada elemento de mapeia para um único elemento em , sem repetições. Se não for injetiva, elementos diferentes de podem mapear para o mesmo elemento em , fazendo com que a pré-imagem inclua mais elementos além de .

Resposta

As igualdades e só são verdadeiras para todo subconjuntos e de se a função for bijetiva, ou seja, se for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Sem essas propriedades, as igualdades podem não se manter para todos os subconjuntos.

Exercícios relacionados

Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Indique o domínio das seguintes funções:
Determine os extremos relativos de f , se existirem.