Será que as igualdades
e
valem para todos os subconjuntos
e
de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pergunta se as igualdades
e
são válidas para todos os subconjuntos
e
dos números reais
. Para isso, vamos usar conceitos de funções, como imagem e pré-imagem, além de propriedades como injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é o conjunto de todos os elementos que, quando a função
é aplicada, pertencem a
. Então,
é a imagem desse conjunto através de
.
Passo 3
Para que
seja verdadeira para todo conjunto
, a função
precisa ser sobrejetiva. Isso significa que todo elemento de
tem pelo menos um elemento em
que mapeia para ele através de
. Se
não for sobrejetiva, pode haver elementos em
que não são atingidos por
, fazendo com que a igualdade não se sustente.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Aqui,
é a imagem do conjunto
através de
, e
é a pré-imagem desse conjunto. Para que essa igualdade seja válida para todo
, a função
precisa ser injetiva. Isso quer dizer que cada elemento de
mapeia para um único elemento em
, sem repetições. Se
não for injetiva, elementos diferentes de
podem mapear para o mesmo elemento em
, fazendo com que a pré-imagem inclua mais elementos além de
.
Resposta
As igualdades
e
só são verdadeiras para todo subconjuntos
e
de
se a função
for bijetiva, ou seja, se
for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Sem essas propriedades, as igualdades podem não se manter para todos os subconjuntos.
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