Determine os extremos relativos de f , se existirem. f(x, y)=e^x sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função tem extremos relativos, ou seja, pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos em relação aos pontos ao redor. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e encontrar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
Sabemos que nunca é zero para qualquer valor de , então as equações se reduzem a:

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
  1. implica que , onde é um inteiro.
  2. implica que , onde é um inteiro.
Mas não há valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente, pois não pode ser múltiplo de e, ao mesmo tempo, meio múltiplo de .

Resposta

A função não possui extremos relativos.

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