Determine os extremos relativos de
, se existirem.
b)
b)
Passo 1
Então, você quer descobrir se a função
tem algum extremão relativo, como um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e depois analisar o tipo desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para
:
Como
nunca é zero, temos que
.
Para
:
Novamente,
nunca é zero, então
.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos analisar o ponto crítico
para determinar se é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
No ponto
:
Calculamos o discriminante
:
Como
, isso indica que o ponto
é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo relativo.
Resposta
A função
não possui extremos relativos.
Exercícios relacionados
Seja
a função dada implicitamente por
. Determine a reta tangente a função no ponto
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b)
b)
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
f)
f)
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
a)
a)