Determine os extremos relativos de f, se existirem.
b) f(x, y) = e^(x y)

Passo 1

Então, você quer descobrir se a função tem algum extremão relativo, como um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e depois analisar o tipo desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para :
Como nunca é zero, temos que .
Para :
Novamente, nunca é zero, então .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar o ponto crítico para determinar se é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
No ponto :
Calculamos o discriminante :
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo relativo.

Resposta

A função não possui extremos relativos.

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Seja y = f(x) a função dada implicitamente por y^5 + 5*y^4 + 10*y^3 + 10*y^2 + 5*y + 1 = x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b) y = x^2, y = 16 - z^2 ; (4, 16, 0)
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
f) f(x, y) = sen(x + y) + sen(x) + sen(y); 0 <= x <= 2 pi; 0 <= y <= 2 pi
Escreva a equação da reta tangente à curva F(x, y) = 0 no ponto P.
a) F(x, y) = 2*x^3 - y^2 - 2*x^2*y + 1 ; P = (-1/(raiz(2)), 0)