Determine os extremos relativos de f, se existirem.
b) f(x, y) = e^(x y)

Passo 1

Então, você quer descobrir se a função tem algum extremão relativo, como um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e depois analisar o tipo desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para :
Como nunca é zero, temos que .
Para :
Novamente, nunca é zero, então .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar o ponto crítico para determinar se é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
No ponto :
Calculamos o discriminante :
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo relativo.

Resposta

A função não possui extremos relativos.

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