Determine os extremos relativos de f, se existirem.
f) f(x, y) = sen(x + y) + sen(x) + sen(y); 0 <= x <= 2 pi; 0 <= y <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os extremos relativos da função no intervalo e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
Isso nos diz que ou dentro do intervalo dado.

Passo 5

Vamos considerar . Substituindo isso na equação (1):
Vamos resolver essa equação trigonométrica para encontrar os valores de .

Passo 6

Usando a identidade trigonométrica , a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática em :
Assim, ou .

Passo 7

Resolvendo para :
  • ou .
  • .
Como , temos os pontos críticos:

Passo 8

Agora, vamos considerar a outra possibilidade . Substituindo na equação (1):
Isso nos dá e, portanto, .
Mas já encontramos esse ponto no passo anterior, então não há novos pontos críticos aqui.

Passo 9

Temos agora os pontos críticos:
Vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 10

Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 11

Vamos calcular para cada ponto crítico.
  1. Ponto :
    Como , é um ponto de máximo relativo.
  2. Ponto :
    O teste é inconclusivo, mas podemos observar que na vizinhança deste ponto a função não apresenta variação, sendo um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Como , é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em .
  • Mínimo relativo em .

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Determine os extremos relativos de f, se existirem.
b) f(x, y) = e^(x y)
Seja y = f(x) a função dada implicitamente por y^5 + 5*y^4 + 10*y^3 + 10*y^2 + 5*y + 1 = x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))
Escreva a equação da reta tangente à curva F(x, y) = 0 no ponto P.
a) F(x, y) = 2*x^3 - y^2 - 2*x^2*y + 1 ; P = (-1/(raiz(2)), 0)
Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
ln 2 = 1/(1*2) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + 1/(7*8) + ...