Determine os extremos relativos de
, se existirem.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os extremos relativos da função
no intervalo
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
Isso nos diz que
ou
dentro do intervalo dado.
Passo 5
Vamos considerar
. Substituindo isso na equação (1):
Vamos resolver essa equação trigonométrica para encontrar os valores de
.
Passo 6
Usando a identidade trigonométrica
, a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática em
:
Assim,
ou
.
Passo 7
Resolvendo para
:
-
dá ou . -
dá .
Como
, temos os pontos críticos:
Passo 8
Agora, vamos considerar a outra possibilidade
. Substituindo na equação (1):
Isso nos dá
e, portanto,
.
Mas já encontramos esse ponto no passo anterior, então não há novos pontos críticos aqui.
Passo 9
Temos agora os pontos críticos:
Vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 10
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 11
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
-
Ponto
: Como, é um ponto de máximo relativo. -
Ponto
: O teste é inconclusivo, mas podemos observar que na vizinhança deste ponto a função não apresenta variação, sendo um ponto de sela. -
Ponto
: Como, é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os extremos relativos da função são:
- Máximo relativo em
. - Mínimo relativo em
.
Exercícios relacionados
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
b)
b)
Seja
a função dada implicitamente por
. Determine a reta tangente a função no ponto
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
a)
a)
Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.