Esboce o gráfico de função
2 , determine a sua imagem (i. e. o seu contradomínio) e os conjuntos
) e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
, encontrar o contradomínio dessa função e determinar os conjuntos
e
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções quadráticas, valor absoluto, imagem e inversa de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Sabemos que
é uma parábola que abre para cima, e
é a função valor absoluto que sempre dá valores positivos ou zero. O termo
vai “puxar” a parábola para baixo, e o
é uma translação para baixo.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de
. Para isso, analisamos a função em duas partes, já que temos o valor absoluto:
-
Para
: Essa é uma parábola com coeficiente, então abre para cima. -
Para
: Também é uma parábola que abre para cima.
Vamos encontrar os vértices de cada parte para desenhar o gráfico.
Passo 4
Encontrando os vértices:
-
Para
:
O vértice de uma parábolaestá em . Substituindo na função:Então, o vértice é. -
Para
: Substituindo na função:O vértice é.
Passo 5
Agora, plotamos os vértices e alguns pontos adicionais para desenhar o gráfico completo:
- Para
: A parábola passa pelo vértice e sobe para os lados. - Para
: A parábola passa pelo vértice e também sobe para os lados.
Isso nos dá um gráfico em forma de “W” invertido, com os vértices no mesmo nível
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem (contradomínio) da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de saída
.
Como ambas as parábolas abrem para cima e têm vértices em
, o valor mínimo da função é
. Portanto, a imagem é:
Passo 7
Vamos encontrar
, que é o conjunto dos valores da função para
de
até
.
Observando o gráfico, para
, a função atinge seu valor mínimo em
e
, ambos com
. Como a parábola sobe para os lados, a imagem será desde
até o valor em
, que já sabemos ser
.
Então:
Passo 8
Por fim, vamos determinar
, que é o conjunto dos
tal que
.
Sabemos que a imagem da função é
, então
ocorre para todos os
tal que
. Resolvendo essa desigualdade:
Para simplificar, resolvemos para
e
separadamente:
-
Para
: Resolvendo a equação: Aproximadamente,, mas como , temos . -
Para
: Resolvendo: Aproximadamente,, mas como , temos .
Portanto:
Mas considerando as restrições dos intervalos resolvidos, concluímos que:
Resposta
A imagem da função
é
, o conjunto
é
e o conjunto
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Indique o domínio das seguintes funções:
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Indique o domínio das seguintes funções:
.