Esboce o gráfico de função 2 , determine a sua imagem (i. e. o seu contradomínio) e os conjuntos ) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função , encontrar o contradomínio dessa função e determinar os conjuntos e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções quadráticas, valor absoluto, imagem e inversa de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Sabemos que é uma parábola que abre para cima, e é a função valor absoluto que sempre dá valores positivos ou zero. O termo vai “puxar” a parábola para baixo, e o é uma translação para baixo.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de . Para isso, analisamos a função em duas partes, já que temos o valor absoluto:
  1. Para :
    Essa é uma parábola com coeficiente , então abre para cima.
  2. Para :
    Também é uma parábola que abre para cima.
Vamos encontrar os vértices de cada parte para desenhar o gráfico.

Passo 4

Encontrando os vértices:
  1. Para :
    O vértice de uma parábola está em .
    Substituindo na função:
    Então, o vértice é .
  2. Para :
    Substituindo na função:
    O vértice é .

Passo 5

Agora, plotamos os vértices e alguns pontos adicionais para desenhar o gráfico completo:
  • Para : A parábola passa pelo vértice e sobe para os lados.
  • Para : A parábola passa pelo vértice e também sobe para os lados.
Isso nos dá um gráfico em forma de “W” invertido, com os vértices no mesmo nível .

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem (contradomínio) da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de saída .
Como ambas as parábolas abrem para cima e têm vértices em , o valor mínimo da função é . Portanto, a imagem é:

Passo 7

Vamos encontrar , que é o conjunto dos valores da função para de até .
Observando o gráfico, para , a função atinge seu valor mínimo em e , ambos com . Como a parábola sobe para os lados, a imagem será desde até o valor em , que já sabemos ser .
Então:

Passo 8

Por fim, vamos determinar , que é o conjunto dos tal que .
Sabemos que a imagem da função é , então ocorre para todos os tal que . Resolvendo essa desigualdade:
Para simplificar, resolvemos para e separadamente:
  1. Para :
    Resolvendo a equação :
    Aproximadamente, , mas como , temos .
  2. Para :
    Resolvendo :
    Aproximadamente, , mas como , temos .
Portanto:
Mas considerando as restrições dos intervalos resolvidos, concluímos que:

Resposta

A imagem da função é , o conjunto é e o conjunto é aproximadamente .

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