Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função
é invertível. Além disso, precisamos indicar o domínio e o contradomínio tanto de
quanto da sua inversa
. Vamos usar conceitos de funções e suas inversas para isso.
Passo 2
Primeiro, para uma função ser invertível, ela precisa ser bihamiltoniana, ou seja, deve ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (toda saída tem uma entrada correspondente). No caso de funções lineares como
, elas são sempre injetoras e sobrejetoras se o coeficiente de
não for zero, o que garante que cada valor de
gera um único valor de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa da função
. A inversa,
, basicamente “desfaz” o que
faz. Para achar
, fazemos o seguinte:
- Começamos com
. - Troca-se
por e por : . - Resolver para
:
Então, a inversa é
.
Passo 4
Agora, vamos definir o domínio e o contradomínio de
e
:
- Domínio de
: Todos os números reais, porque não há restrições para em . - Contradomínio de
: Também todos os números reais, já que para qualquer , podemos encontrar um tal que . - Domínio de
: Como o contradomínio de é todos os reais, o domínio de também é todos os reais. - Contradomínio de
: E como o domínio de é todos os reais, o contradomínio de também é todos os reais.
Resposta
A função
é invertível. O domínio e o contradomínio de
são todos os números reais, assim como o domínio e o contradomínio da sua inversa
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de função
2 , determine a sua imagem (i. e. o seu contradomínio) e os conjuntos
) e
.
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Indique o domínio das seguintes funções:
.
Sejam
e
. Qual é o domínio de
? E de
?