Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função é invertível. Além disso, precisamos indicar o domínio e o contradomínio tanto de quanto da sua inversa . Vamos usar conceitos de funções e suas inversas para isso.

Passo 2

Primeiro, para uma função ser invertível, ela precisa ser bihamiltoniana, ou seja, deve ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (toda saída tem uma entrada correspondente). No caso de funções lineares como , elas são sempre injetoras e sobrejetoras se o coeficiente de não for zero, o que garante que cada valor de gera um único valor de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da função . A inversa, , basicamente “desfaz” o que faz. Para achar , fazemos o seguinte:
  1. Começamos com .
  2. Troca-se por e por : .
  3. Resolver para :
Então, a inversa é .

Passo 4

Agora, vamos definir o domínio e o contradomínio de e :
  • Domínio de : Todos os números reais, porque não há restrições para em .
  • Contradomínio de : Também todos os números reais, já que para qualquer , podemos encontrar um tal que .
  • Domínio de : Como o contradomínio de é todos os reais, o domínio de também é todos os reais.
  • Contradomínio de : E como o domínio de é todos os reais, o contradomínio de também é todos os reais.

Resposta

A função é invertível. O domínio e o contradomínio de são todos os números reais, assim como o domínio e o contradomínio da sua inversa .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de função 2 , determine a sua imagem (i. e. o seu contradomínio) e os conjuntos ) e .
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Indique o domínio das seguintes funções: .
Sejam e . Qual é o domínio de ? E de ?